Степенные ряды

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Степенные ряды

Содержание


1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных рядов

3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

5. Приложения степенных рядов

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля


Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Степенные ряды.(1.1)


Здесь Степенные ряды – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При Степенные ряды степенной ряд (1.1) принимает вид


Степенные ряды. (1.2)


Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности Степенные ряды, ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 1.2. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки Степенные ряды приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд (1.2) сходится при Степенные ряды, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству Степенные ряды; если же ряд (1.2) расходится при Степенные ряды, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству Степенные ряды.

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:


1) Степенные ряды; 2) Степенные ряды; 3) Степенные ряды; 4) Степенные ряды,


где R – некоторое неотрицательное действительное число или Степенные ряды.


Число R называется радиусом сходимости, интервал Степенные рядыинтервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если Степенные ряды, то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось Степенные ряды.

Если Степенные ряды, то интервал сходимости вырождается в точку Степенные ряды.

Замечание: если Степенные ряды – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то Степенные ряды – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости Степенные ряды, т. е. при Степенные ряды и Степенные ряды.

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

Степенные ряды;(1.3)


формула Коши:


Степенные ряды.(1.4)


Если в формуле Коши Степенные ряды, то полагают Степенные ряды, если Степенные ряды, то полагают Степенные ряды.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда Степенные ряды.


Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле


Степенные ряды


В нашем случае


Степенные ряды, Степенные ряды.


Тогда Степенные ряды.

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид Степенные ряды.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При Степенные ряды степенной ряд превращается в числовой ряд


Степенные ряды .


который расходится как гармонический ряд.

При Степенные ряды степенной ряд превращается в числовой ряд


Степенные ряды .


Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и Степенные ряды. Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток Степенные ряды – область сходимости данного степенного ряда.


2. Свойства степенных рядов


Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию Степенные ряды, определенную в интервале сходимости Степенные ряды, т. е.


Степенные ряды.


Приведем несколько свойств функции Степенные ряды.


Свойство 1. Функция Степенные ряды является непрерывной на любом отрезке Степенные ряды, принадлежащем интервалу сходимости Степенные ряды.

Свойство 2. Функция Степенные ряды дифференцируема на интервале Степенные ряды, и ее производная Степенные ряды может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.


Степенные ряды

Степенные ряды,


для всех Степенные ряды.


Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции Степенные ряды для всех Степенные ряды может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.


Степенные ряды

Степенные ряды


для всех Степенные ряды.


Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала Степенные ряды может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).

Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд


Степенные ряды.


Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток Степенные ряды.

Почленно продифференцируем этот ряд:


Степенные ряды

Степенные ряды.(2.1)


По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал Степенные ряды.

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при Степенные ряды и при Степенные ряды.

При Степенные ряды степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд


Степенные ряды .

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости Степенные ряды: Степенные ряды, который не существует.

При Степенные ряды степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд


Степенные ряды ,


который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом Степенные ряды.


3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций


Пусть Степенные ряды – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки Степенные ряды, т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3.1. Рядом Тейлора функции Степенные ряды в точке Степенные ряды называется степенной ряд


Степенные ряды

Степенные ряды. (3.1)


В частном случае при Степенные ряды ряд (3.1) называется рядом Маклорена:

Степенные ряды. (3.2)


Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции Степенные ряды в окрестности точки Степенные ряды совпадает с функцией Степенные ряды?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции Степенные ряды сходится, однако его сумма не равна Степенные ряды.

Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции Степенные ряды к этой функции.

Теорема 3.1:

если в интервале Степенные ряды функция Степенные ряды имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. Степенные ряды, то ряд Тейлора этой функции сходится к Степенные ряды для любого х из этого интервала Степенные ряды, т. е. имеет место равенство


Степенные ряды.


Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена


1. Степенные ряды. Для этой функции Степенные ряды, Степенные ряды .

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:


Степенные ряды. (3.3)


Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):


Степенные ряды.


Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении Степенные ряды.

Все производные функции Степенные ряды на любом отрезке Степенные ряды ограничены, т. е.


Степенные ряды .


Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение


Степенные ряды. (3.4)


2. Степенные ряды. Для этой функции Степенные ряды, Степенные ряды, Степенные ряды .

Отсюда следует, что при Степенные ряды производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.

По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:


Степенные ряды .


При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом


Степенные ряды Степенные рядыСтепенные ряды.


Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение


Степенные ряды. (3.5)


3. Степенные ряды. Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции Степенные ряды и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем


Степенные ряды

Степенные ряды

Степенные ряды .

(3.6)

Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом Степенные ряды.

Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.


4. Степенные ряды

Степенные ряды – биномиальный ряд (Степенные ряды – любое действительное число).


Если Степенные ряды – положительное целое число, то получаем бином Ньютона:


Степенные ряды.

Степенные ряды – логарифмический ряд.

Степенные ряды.


5. Приложения степенных рядов


Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:


Степенные ряды; Степенные ряды; Степенные ряды; Степенные ряды;

Степенные ряды; Степенные ряды.

Литература


1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

Степенные ряды2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

Похожие рефераты: