Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Содержание


Задание № 1

Задание № 2

Задание № 3

Задание № 4

Задание № 5

Задание № 7

Задание № 8

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Список литературы


Задание № 1


3. б) Найти пределы функции:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Решение

Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:

Если существуют


Вычисление пределов функций, производных и интегралов и Вычисление пределов функций, производных и интегралов, то: Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Следовательно:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Ответ: предел функции


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Задание № 2


3. б) Найти производную функции:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Решение

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Применим это правило к заданной функции:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Ответ: Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Задание № 3


3. Исследовать функцию и построить ее график:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Решение

Найдем область определения функции:


D(y)=R


Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

Условие четности: f(x)=f(-x)

Условие нечетности: f(-x)=-f(x)

при x=1: y=0

при x=-1: y=-4

Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.

Функция


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


не периодична.

Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.


y=0 при Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов; Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Следовательно, имеем три промежутка:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Определим знак на каждом промежутке:

при x= -1 y=-4 < 0

при x= 0,5 y=0,125 > 0

при x= 2 y=2 > 0

Тогда: для

Вычисление пределов функций, производных и интегралов, для Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

Найдем производную функции:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

при

Вычисление пределов функций, производных и интегралов, Вычисление пределов функций, производных и интегралов


- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Исследуемая функция в промежутке


Вычисление пределов функций, производных и интегралов – возрастает

Вычисление пределов функций, производных и интегралов – убывает

Вычисление пределов функций, производных и интегралов - возрастает

Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов при Вычисление пределов функций, производных и интегралов - точка перегиба

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Для


Вычисление пределов функций, производных и интегралов Вычисление пределов функций, производных и интегралов,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для


Вычисление пределов функций, производных и интегралов Вычисление пределов функций, производных и интегралов,


следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.


По полученным данным построим график функции.

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Рис. 3 График функции Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Задание № 4


Найти интеграл:


3. Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Решение

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:


F(x) + C.


Записывают:

Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Ответ: Вычисление пределов функций, производных и интегралов.


Задание № 5


Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.


Вычисление пределов функций, производных и интегралов, Вычисление пределов функций, производных и интегралов, Вычисление пределов функций, производных и интегралов, Вычисление пределов функций, производных и интегралов.


Решение.

Построим график функции: Вычисление пределов функций, производных и интегралов

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Рис. 1 График


Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:


Вычисление пределов функций, производных и интеграловВычисление пределов функций, производных и интегралов кв. ед.


Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

Задание № 7.


Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов, Вычисление пределов функций, производных и интегралов при Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Решение

Общий вид дифференциального уравнения: Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция Вычисление пределов функций, производных и интегралов от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде Вычисление пределов функций, производных и интегралов, называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: Вычисление пределов функций, производных и интегралов, где Вычисление пределов функций, производных и интегралов - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях Вычисление пределов функций, производных и интегралов, называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов -


общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение для Вычисление пределов функций, производных и интегралов при Вычисление пределов функций, производных и интегралов


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Получаем: Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Ответ: Вычисление пределов функций, производных и интегралов - любое число.


Задание № 8


Найти вероятность случайного события.

Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?

Решение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.


Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».

Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:


Вычисление пределов функций, производных и интегралов Вычисление пределов функций, производных и интегралов.


Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна Вычисление пределов функций, производных и интегралов;

2. вероятность выпадения «шестерки» равна Вычисление пределов функций, производных и интегралов.


Методы вычислений и ЭВМ


Задача № 4.


Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.


Решение:

Схема решения Алгоритм Результат

238200 – 100 %

50175 – х %

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Вычисление пределов функций, производных и интегралов

21,064 %

Задача № 5


Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на


Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.


Тогда:

Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %


Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:


100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %


Задача № 6


Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.


Табельный номер Часовая тарифная ставка, руб Отработано часов К оплате, руб
03 6,6 165
04 8,8 72
05 7,5 216

Алгоритм решения на МК:


6,6 * 165 М+

8,8 * 72 М+

7,5 * 216 М+

16713 / MR MR * 1089 = М+

C C 633,6 = М+

1620 = М+ MR

C

Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:


Ввод названий граф документа:

Адрес клетки Вводимая строка
А1 Табельный номер
А2 03
А3 04
А4 05
В1 Начислено, руб. (всего)
С1 Часовая тарифная ставка, руб.
D1 Отработано часов
Е1 К оплате, руб.

Ввод исходных данных:

Адрес ячейки Исходные данные
В2 16713
С2 6,6
С3 8,8
С4 7,5
D2 165
D3 72
D4 216

Ввод расчетных формул:

Адрес ячейки Исходные данные
F2 С2*D2
F5 =СУММ(F2:F4)
E2 $B$2/$F$5*F2
E5 =СУММ(Е2:Е4)

Конечный результат:

Табельный номер Начислено, руб. (всего) Часовая тарифная ставка, руб. Отработано часов, ч. К оплате, руб. Ставка, руб.
03 16713 6,6 165 5445,00 1089,00
04
8,8 72 3168,00 633,60
05
7,5 216 8100,00 1620,00




16713,00 3342,60

Список литературы


Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.

Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.

Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.

Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.

Похожие рефераты: