Xreferat.com » Рефераты по математике » Определитель матрицы

Определитель матрицы

Оглавление


Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5


Задача 1


Вычислить определитель 4-го порядка.

Определитель матрицы

Решение:

Определитель 4-го порядка находится по формуле:


Определитель матрицы ,


где

aij – элемент матрицы;

Мij – минора элемента aij. Минора элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij


Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы

Определитель матрицы


Задача 2


Решить систему матричным способом.

Определитель матрицы


Решение:

Введем обозначения:


Определитель матрицы


Определитель матрицы

Тогда в матричной форме система имеет вид Определитель матрицы, т.е. Определитель матрицы

А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е. Определитель матрицы

Найдем определитель матрицы по формуле:


Определитель матрицы

Определитель матрицы


Так как Определитель матрицы, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.

Найдем обратную матрицу по формуле:


Определитель матрицы, где


Определитель матрицы- присоеденненая матрица, элементы которой Определитель матрицы равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы Определитель матрицы, и затем транспонированная.

найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:


Определитель матрицы


Получается матрица


Определитель матрицы

транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)


Определитель матрицы


обратная матрица равна:


Определитель матрицы


Находим значение переменных х1,х2,х3:


Определитель матрицы

Х1=-27, Х2=36, Х3=-9


Задача 3


Решить систему методом Крамера

Определитель матрицы

Решение:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Данную систему представим в виде матрицы:


Определитель матрицы

Определитель матрицы

Найдем определители:


Определитель матрицы,

Определитель матрицы

Определитель матрицы


Определитель матрицы

(Определитель матрицы, т.е. можно применить метод Крамера)

Определитель матрицы;

Определитель матрицы.

Найдем значение x, y:


Определитель матрицы, Определитель матрицы


Определитель матрицы, Определитель матрицы

Задача 4


Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:

Определитель матрицы


Решение:

Данную систему представим в виде матрицы:


Определитель матрицы

Определитель матрицы



Определитель матрицы

В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице Определитель матрицыв первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы;

Определитель матрицы


Определитель матрицы

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

Определитель матрицы; Определитель матрицы; Определитель матрицы

Определитель матрицы; Определитель матрицы; Определитель матрицы

Определитель матрицы; Определитель матрицы Определитель матрицы


Определитель матрицы

В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:

Определитель матрицы; Определитель матрицы

Определитель матрицы; Определитель матрицы

Определитель матрицы; Определитель матрицы


Определитель матрицы

Так как больше строк в качестве разрешающих не осталось, выписываем систему уравнений, которая соответствует последней матрице:


Определитель матрицы


Предполагаем, что х4 – это любое число С, тогда

Х1=3,8-3,4С; Х2=23,6-7,8С; Х3=-33+С

Задача 5


Даны векторы.

Определитель матрицы

Найти:

Определитель матрицы

Решение:

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В.

Из данных уравнений выделим координаты векторов:

Определитель матрицы, где координатами являются (x,y,z)

т.е. координатами вектора Определитель матрицы являются (18,2,1), а координатами вектора Определитель матрицыявляются (1,-2,17).

Скалярное произведение векторов находится по формуле:


Определитель матрицы


Определитель матрицы

Длина Определитель матрицы вектора Определитель матрицы определяется по формуле:


Определитель матрицы


Определитель матрицы

Похожие рефераты: