Xreferat.com » Рефераты по математике » Несобственные интегралы

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Несобственные интегралы

Дисциплина: «Высшая математика»

Тема: «Несобственные интегралы»


1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами


При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций.


Несобственные интегралы


Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция Несобственные интегралы непрерывна на промежутке Несобственные интегралы. Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом Несобственные интегралы. Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения Несобственные интегралы, но его можно будет вычислить до тех пор, пока Несобственные интегралы конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, Несобственные интегралы-ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать Несобственные интегралы, ни вычислить Несобственные интегралы. Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записи Несобственные интегралы-ой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что Несобственные интегралы находится не на бесконечности, а стремится к ней.

Определение 1. Если существует конечный предел Несобственные интегралы, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции Несобственные интегралы и обозначается Несобственные интегралы.

Итак, по определению Несобственные интегралы. В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет.

Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью Несобственные интегралы, кривой Несобственные интегралы и прямой Несобственные интегралы.

Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:


Несобственные интегралы

Следует подчеркнуть, что интеграл Несобственные интегралы существует только тогда, когда существует каждый из интегралов Несобственные интегралы и Несобственные интегралы.

Из сказанного выше следует, что несобственный интеграл это не предел интегральной суммы, а предел определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.

Рассмотрим пример вычисления несобственного интеграла с бесконечным пределом, который, кроме того, применяется и при решении других задач, о чем будет сказано в дальнейшем.


Несобственные интегралы


Если Несобственные интегралы, то Несобственные интегралы, поэтому Несобственные интегралы. Следовательно, в этом случае Несобственные интегралы.

Если Несобственные интегралы, то Несобственные интегралы, поэтому Несобственные интегралы и Несобственные интегралы. Аналогично, если Несобственные интегралы, то Несобственные интегралы.

Таким образом, Несобственные интегралы сходится, если Несобственные интегралы и расходится, если Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют место, в частности, в физике при вычислении работы по перемещению материальной точки с массой Несобственные интегралы из бесконечности в точку Несобственные интегралы под действием силы притяжения. Эта работа называется потенциалом силы притяжения материальной точки Несобственные интегралы при Несобственные интегралы.

2. Несобственные интегралы от разрывных функций


Рассмотрим теперь случай, когда функция Несобственные интегралынепрерывна на промежутке Несобственные интегралы, а в точке Несобственные интегралы терпит разрыв второго рода. В этом случае введение определенного интеграла на отрезке Несобственные интегралы как предела интегральной суммы также невозможно. Дело в том, что отрезок Несобственные интегралы разбить на Несобственные интегралы частичных отрезков можно, но в этом случае первая частичная трапеция будет иметь бесконечную высоту и ее площадь вычислить невозможно. Однако, как и в случае с бесконечным интервалом интегрирования, здесь также существует выход. Необходимо искать площадь трапеции, левый конец основания которой приближается к точке Несобственные интегралы.


Несобственные интегралы


Определение. Если существует конечный предел Несобственные интегралы, то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции Несобственные интегралы и обозначается Несобственные интегралы.

Следовательно, вычисление несобственного интеграла от разрывной функции связано с нахождением предела:

Несобственные интегралы.


Так же как и в предыдущем параграфе, если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл от разрывной функции равен площади криволинейной трапеции, у которой в какой-то точке высота равна бесконечности.

Если функция Несобственные интегралы терпит разрыв в точке Несобственные интегралы, то


Несобственные интегралы.


Если же разрыв происходит в точке Несобственные интегралы, то есть внутри Несобственные интегралы, то в этом случае


Несобственные интегралы.


В последнем случае несобственный интеграл существует (или сходится), если сходятся оба интеграла.

Так же как и несобственный интеграл с бесконечными пределами, данный интеграл тоже не является пределом Несобственные интегралы-ой интегральной суммы, а пределом определенного интеграла.

Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим пример, используемый при решении других задач.

Несобственные интегралы


Если в этом интеграле Несобственные интегралы, то Несобственные интегралы и поэтому Несобственные интегралы. Следовательно, в этом случае Несобственные интегралы.

Если Несобственные интегралы, тоНесобственные интегралы. В этом случае Несобственные интегралы и интеграл Несобственные интегралы расходится. Аналогичный результат получается и в том случае, когда Несобственные интегралы. Действительно,


Несобственные интегралы.


Таким образом, рассмотренный интеграл расходится при Несобственные интегралы и сходится при Несобственные интегралы.


3. Признаки сходимости несобственных интегралов


Как было показано, несобственные интегралы сходятся не всегда. Следовательно, если их вычисление громоздко, то желательно заранее выяснить их существование. Кроме того, бывают случаи, когда несобственный интеграл вообще нет необходимости вычислять, а требуется лишь знать, сходится он или нет. В этом случае используются теоремы о сходимости несобственных интегралов, основанные на сравнении исследуемого несобственного интеграла с известными.

Теорема 1. Пусть функции Несобственные интегралы и Несобственные интегралы непрерывны на промежутке Несобственные интегралы и удовлетворяют неравенствам Несобственные интегралы. Тогда,

1) если интеграл Несобственные интегралы сходится, то сходится и интеграл Несобственные интегралы;

2) если интеграл Несобственные интегралы расходится, то расходится и интеграл Несобственные интегралы.

Доказываем первую часть. Из неравенств Несобственные интегралы, основываясь на свойствах неопределенных интегралов (свойство 5, п. 2), следует, что


Несобственные интегралы,


где Несобственные интегралы. При увеличении верхнего предела интегрирования значения обоих интегралов будут непрерывно расти, так как подынтегральные функции по условию теоремы положительны. Следовательно, величины обоих интегралов будут функциями верхних пределов интегрирования. Перейдем к пределу в неравенствах, когда Несобственные интегралы. Согласно свойству 6 (п. 3.5) неравенства при этом не нарушатся:


Несобственные интегралы.


По условию теоремы Несобственные интегралы сходится, то есть Несобственные интегралы. У интеграла Несобственные интегралы величина будет монотонно расти с ростом Несобственные интегралы. Однако эта монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху числом Несобственные интегралы. Следовательно, Несобственные интегралы, то есть несобственный интеграл Несобственные интегралы сходится.

Во втором случае также из Несобственные интегралы следует, что Несобственные интегралы. Но в этом случае Несобственные интегралы по условию расходится, то есть Несобственные интегралы. Тогда и Несобственные интегралы, то есть несобственный интеграл Несобственные интегралы расходится. Теорема доказана.

Для несобственных интегралов от разрывных функций существует аналогичная теорема.


Теорема 2. Пусть функции Несобственные интегралы и Несобственные интегралы непрерывны на промежутке Несобственные интегралы, удовлетворяют неравенствам Несобственные интегралы и в точке Несобственные интегралы одновременно терпят разрыв второго рода. Тогда,

1) если Несобственные интегралы сходится, то Несобственные интегралы сходится также;

2) если Несобственные интегралы расходится, то расходится и Несобственные интегралы.

Доказательство теоремы 2 проводится абсолютно так же, как и теоремы 1. Ниже соответствующие теоремы сходимости для несобственных интегралов от разрывных функций формулироваться не будут.


Теорема 3. Если на промежутке Несобственные интегралы функция Несобственные интегралы меняет свой знак, то если Несобственные интегралы сходится, то сходится и Несобственные интегралы, при этом второй интеграл называется абсолютно сходящимся.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Несобственные интегралы. Очевидно, что она удовлетворяет неравенствам Несобственные интегралы. Согласно теореме 1 из сходимости Несобственные интегралы следует сходимость Несобственные интегралы. Но тогда Несобственные интегралы и Несобственные интегралы. Следовательно, несобственный интеграл Несобственные интегралы сходится, что и требовалось доказать.

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Теорема 4. Если положительные функции Несобственные интегралы и Несобственные интегралы непрерывны на промежутке Несобственные интегралы и при этом Несобственные интегралы, то оба несобственных интеграла Несобственные интегралы и Несобственные интегралы ведут себя одинаково.

Данную теорему доказывать не будем. Аналогичная теорема существует и для несобственных интегралов от разрывных функций, но при вычислении предела переменная Несобственные интегралы стремится к точке разрыва.

В заключение отметим, что в качестве известных или эталонных функций, упоминаемых в теоремах, часто используются функции Несобственные интегралы и Несобственные интегралы проинтегрированные в примерах параграфов 15 и 1


Литература


Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284 с.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., «Наука», 1986.

Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа», 1973.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.

Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509 с.

Олейник С.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. Несобственные интегралы и ряды Фурье. Изд-во: Факториал Пресс, 1998. – 488c.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.