Xreferat.com » Рефераты по математике » Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов  и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида Иррациональные уравнения и неравенства, то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение Иррациональные уравнения и неравенства. В этом случае применяется формула Иррациональные уравнения и неравенства.

б) Если в знаменателе стоит выражение Иррациональные уравнения и неравенства (или Иррациональные уравнения и неравенства), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на Иррациональные уравнения и неравенства (или Иррациональные уравнения и неравенства). В этом случае применяются формулы

Иррациональные уравнения и неравенства,

Иррациональные уравнения и неравенства.

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

а) Иррациональные уравнения и неравенства;     б) Иррациональные уравнения и неравенства;     в) Иррациональные уравнения и неравенства;     г) Иррациональные уравнения и неравенства; д) Иррациональные уравнения и неравенства;     е) Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение:

а) Иррациональные уравнения и неравенства;

б) Иррациональные уравнения и неравенства;

в) Иррациональные уравнения и неравенства;

г) Иррациональные уравнения и неравенства;

д) Иррациональные уравнения и неравенства;

е) Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства.

Отметим еще одно свойство:

Иррациональные уравнения и неравенства

которое часто применяется в преобразованиях.

Пример 2. Упростить выражение:

а) Иррациональные уравнения и неравенства;     б) Иррациональные уравнения и неравенства;     в) Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение:

а) Иррациональные уравнения и неравенства, т.к. Иррациональные уравнения и неравенства.

б) Иррациональные уравнения и неравенства, т.к. Иррациональные уравнения и неравенства.

в) Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства

Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n=-1, n=1, n=0.

1) Если n<-1, то

Иррациональные уравнения и неравенства

2) Если -1£n<0, то

Иррациональные уравнения и неравенства

3) Если 0<n<1, то

Иррациональные уравнения и неравенства

4) Если n³1, то

Иррациональные уравнения и неравенства

Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства

II. Иррациональные уравнения.

Рассмотрим уравнение вида Иррациональные уравнения и неравенства.

Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n – четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», то есть уравнение приводится к виду Иррациональные уравнения и неравенства.

Еще один способ решения – введение вспомогательной переменной.

Пример 3. Решить уравнения:

а) Иррациональные уравнения и неравенства;

б) Иррациональные уравнения и неравенства;

в) Иррациональные уравнения и неравенства;

г) Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение:

а) Иррациональные уравнения и неравенства   Û   Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Проверка.

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Þ х=-4 – посторонний корень,

Иррациональные уравнения и неравенства  Иррациональные уравнения и неравенства – верно Þ х=2 – корень.

Ответ: х=2.

б) Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Проверка.

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства  –  это выражение не существует, т.е.

Иррациональные уравнения и неравенства – посторонний корень,

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства – верно Þ Иррациональные уравнения и неравенства – корень.

Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства.

в) Иррациональные уравнения и неравенства

Введем вспомогательную переменную Иррациональные уравнения и неравенства Þ x2=t2–13

t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,

t1=7; t2=-5.

Сделаем обратную замену:

Иррациональные уравнения и неравенства Û х2+13=49 Û х2=36 Þ х=±6,

Иррациональные уравнения и неравенства – не имеет решений.

Ответ: х=±6.

г) Иррациональные уравнения и неравенства

Сделаем замену переменной. Положим Иррациональные уравнения и неравенства. Тогда уравнение примет вид:

Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Þ Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства.

Проверка показывает, что Иррациональные уравнения и неравенства – корень.

Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства.

III. Решение иррациональных неравенств.

При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.

Поэтому неравенство Иррациональные уравнения и неравенства эквивалентно системам

Иррациональные уравнения и неравенства или Иррациональные уравнения и неравенства

Неравенство Иррациональные уравнения и неравенства равносильно системе

Иррациональные уравнения и неравенства

Пример 4. Решить неравенства:

а) Иррациональные уравнения и неравенства б) Иррациональные уравнения и неравенства

в) Иррациональные уравнения и неравенства г) Иррациональные уравнения и неравенства

Решение.

а) Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства

Решим третье неравенство системы методом интервалов:

x2-5x-14>0

x2-5x-14=0

Иррациональные уравнения и неравенстваИррациональные уравнения и неравенства

(x-7)(x+2)>0

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Найдем пересечение решений трех неравенств:

Ответ: -18£x<-2.

б) Иррациональные уравнения и неравенства

если х-1£0, то неравенство верно, то есть х£1;

если x-1>0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:

Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û x>1.

Объединяем два решения, получим х – любое.

Ответ: х – любое.

в) Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û

Иррациональные уравнения и неравенства Û Иррациональные уравнения и неравенства Û

Иррациональные уравнения и неравенства

Ответ: х³1.

г) Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства  или  Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Û х³3 Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональные уравнения и неравенства

Ответ: Иррациональные уравнения и неравенства.

Задачи для самостоятельного решения

Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) Иррациональные уравнения и неравенства 2) Иррациональные уравнения и неравенства 3) Иррациональные уравнения и неравенства

4) Иррациональные уравнения и неравенства, если Иррациональные уравнения и неравенства, m>0, 0<n<1.

М11.9.2. Решить уравнения

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства.

М11.9.3. Решить неравенства:

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства;

Иррациональные уравнения и неравенства.

Похожие рефераты: