Xreferat.com » Рефераты по математике » Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Контрольная работа


Дисциплина:

«Высшая математика»


Тема:


«Универсальная тригонометрическая подстановка»


1. Универсальная тригонометрическая подстановка


Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются Универсальная тригонометрическая подстановка. Например,


Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка.


В то же время функция Универсальная тригонометрическая подстановка рациональной не является.


Теорема. Интеграл вида Универсальная тригонометрическая подстановка с помощью подстановки Универсальная тригонометрическая подстановка преобразуется в интеграл от рациональной дроби.

Для доказательства выразим Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка через Универсальная тригонометрическая подстановка:


Универсальная тригонометрическая подстановка;


Универсальная тригонометрическая подстановка;


Универсальная тригонометрическая подстановка.

В результате проведенных преобразований Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка превратились в рациональные дроби от Универсальная тригонометрическая подстановка. Подставляя их в исходный интеграл, получаем:


Универсальная тригонометрическая подстановка.


В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.

Подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка


называется универсальной тригонометрической подстановкой.


2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции


Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида Универсальная тригонометрическая подстановка. Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.

1. Интегралы типа Универсальная тригонометрическая подстановка удобно вычислять с помощью подстановки Универсальная тригонометрическая подстановка. Тогда Универсальная тригонометрическая подстановка и получаем простой интеграл Универсальная тригонометрическая подстановка.

2. Интегралы типа Универсальная тригонометрическая подстановка удобно вычислять с помощью подстановки Универсальная тригонометрическая подстановка. Тогда Универсальная тригонометрическая подстановка и интеграл приводится к виду Универсальная тригонометрическая подстановка.

3. Если подынтегральная функция зависит только от Универсальная тригонометрическая подстановка (Универсальная тригонометрическая подстановка), то удобна замена Универсальная тригонометрическая подстановка. В этом случае Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка. В результате получаем Универсальная тригонометрическая подстановка.

4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка, то есть Универсальная тригонометрическая подстановка, то в этом случае также удобна замена Универсальная тригонометрическая подстановка. При этом:


Универсальная тригонометрическая подстановка;


Универсальная тригонометрическая подстановка;


Универсальная тригонометрическая подстановка.


Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть дан интеграл Универсальная тригонометрическая подстановка, где Универсальная тригонометрическая подстановка и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что Универсальная тригонометрическая подстановка. Тогда

Универсальная тригонометрическая подстановка.


Далее делается замена Универсальная тригонометрическая подстановка, и получаем Универсальная тригонометрическая подстановка.

6. Пусть дан интеграл Универсальная тригонометрическая подстановка, где Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка неотрицательные и четные. Положим, что Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка. Тогда


Универсальная тригонометрическая подстановка; Универсальная тригонометрическая подстановка.


Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле Универсальная тригонометрическая подстановка, получаем снова случаи 5 или 6.

7. Пусть дан Универсальная тригонометрическая подстановка, где Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.

8. В случае Универсальная тригонометрическая подстановка используется тригонометрическая формула


Универсальная тригонометрическая подстановка


и интеграл превращается в два табличных интеграла.

9. В случае Универсальная тригонометрическая подстановка используется тригонометрическая формула


Универсальная тригонометрическая подстановка.


10. В случае Универсальная тригонометрическая подстановка используется тригонометрическая формула

Универсальная тригонометрическая подстановка.


3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида Универсальная тригонометрическая подстановка


Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от Универсальная тригонометрическая подстановкаи Универсальная тригонометрическая подстановка. Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков Универсальная тригонометрическая подстановкаи дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:


Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка.


Следующий шаг:

Универсальная тригонометрическая подстановка рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Замена переменной в неопределённом интеграле.

Универсальная тригонометрическая подстановка рационализируется подстановкой Универсальная тригонометрическая подстановка (или Универсальная тригонометрическая подстановка, или Универсальная тригонометрическая подстановка).

Универсальная тригонометрическая подстановка рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или x = a sh t).

Универсальная тригонометрическая подстановкаПример 1. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интеграл вида Универсальная тригонометрическая подстановка, из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t.


Универсальная тригонометрическая подстановка,


поэтому Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка


или


Универсальная тригонометрическая подстановка.


Универсальная тригонометрическая подстановкаПример 2.

Универсальная тригонометрическая подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка


3. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей


Рассмотрим теперь интегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболее простых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, это удается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функции интегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.

1. Пусть дан интеграл


Универсальная тригонометрическая подстановка,


где Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка,…, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка. Найдем общий знаменатель дробей Универсальная тригонометрическая подстановка,…, Универсальная тригонометрическая подстановка. Пусть это число Универсальная тригонометрическая подстановка. Сделаем подстановку Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка. В этом случае все дробные степени становятся целыми и подынтегральная функция становится рациональной относительно Универсальная тригонометрическая подстановка.

2. Рассмотрим общий случай подобных интегралов:


Универсальная тригонометрическая подстановка,


где Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка,…, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка.


Чтобы получить рациональную функцию, находят общий знаменатель дробей Универсальная тригонометрическая подстановка,…, Универсальная тригонометрическая подстановка (обозначим его Универсальная тригонометрическая подстановка) и делают замену переменной Универсальная тригонометрическая подстановка. В этом случае


Универсальная тригонометрическая подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка.


Очевидно, если Универсальная тригонометрическая подстановка и Универсальная тригонометрическая подстановка, то случай 2 переходит в случай 1. Кроме того, необходимо иметь в виду, что в обоих случаях основания всех степеней должны быть одинаковы: в первом случае Универсальная тригонометрическая подстановка, во втором – Универсальная тригонометрическая подстановка.


4. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок


Рассмотри снова интегралы, содержащие квадратный трехчлен:


Универсальная тригонометрическая подстановкаУниверсальная тригонометрическая подстановка.


Выделив полный квадрат под корнем, получим один из трех интегралов: Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка. Все они вычисляются с помощью тригонометрических подстановок.


1. Универсальная тригонометрическая подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка.


2. Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка.


3. Универсальная тригонометрическая подстановка


Универсальная тригонометрическая подстановка.


Во всех трех случаях после проведенных подстановок интегралы пришли к виду, рассмотренному в п. 2.


5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции


В п. 1 была сформулирована теорема о том, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако необходимо иметь в виду, что не всегда первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции.

К таким интегралам следует отнести


Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка, Универсальная тригонометрическая подстановка,


Универсальная тригонометрическая подстановка (Универсальная тригонометрическая подстановка).


Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Например, та из первообразных Универсальная тригонометрическая подстановка, которая обращается в нуль при Универсальная тригонометрическая подстановка, называется функцией Гаусса и обозначается Универсальная тригонометрическая подстановка. Эта функция хорошо изучена, составлены подробные таблицы ее значений. То же самое можно сказать и о других подобных функциях.


Литература


Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М.К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. – 736 с.

Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.

Шахмейстер А.Х. ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-е изд. МГУ, 2006. – 672 с.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: