Xreferat.com » Рефераты по математике » Основные понятия математического анализа

Основные понятия математического анализа

Содержание


Двойные интегралы

Определение определенного интеграла

Правило вычисления двойного интеграла.

Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла.

Тройные интегралы

Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Несобственные интегралы.

Дифференциальные уравнения.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

3. Линейные дифференциальные уравнения

4. Уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Три случая понижения порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа

Геометрическое изображение комплексных чисел

Действия над комплексными числами.

Произведение.

Частное.

Возведение в степень.

Извлечение корня

Ряды.

Числовые ряды.

Свойства числовых рядов.

Знакоположительные ряды

Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.


ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


Определение определенного интеграла


Основные понятия математического анализа- интегральная сумма.

Основные понятия математического анализа


Геометрический смысл ОИ: равен площади криволинейной трапеции.


Основные понятия математического анализа


Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл.

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y), которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ.

Интегральной суммой для этой функции называется сумма


Основные понятия математического анализа


Основные понятия математического анализа


Она распространяется на те значения i и к, для которых точки (xi,yk) принадлежат области S.

Двойной интеграл от функции z=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется предел соответствующей интегральной суммы.


Основные понятия математического анализа


Правило вычисления двойного интеграла


Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.


Основные понятия математического анализа


1. (Рис.1) Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми

Основные понятия математического анализа.


Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:


Основные понятия математического анализа


Сначала вычисляется внутренний интеграл:

При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считается переменной, а ‘х’-постоянной.

2. (Рис.2) Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=d и кривыми


Основные понятия математического анализа.


Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:


Основные понятия математического анализа


Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний.

При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной.

3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов.


Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла


Основные понятия математического анализа


Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу- плоскостью z=0 (плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область S, вычисляется по формуле:

Основные понятия математического анализа


Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла


Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y), то площадь поверхности (Sпов.), имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле:


Основные понятия математического анализа- площадь поверхности.


ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


Определяется аналогично двойному интегралу.

Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы.


Основные понятия математического анализа


Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов.


Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла


Объем тела вычисляется по формуле:


Основные понятия математического анализа

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


Это интегралы: - с бесконечными пределами; - от неограниченной функции.


Первый вид


Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют вид:


Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа


Несобственные интегралы от функции в пределах от (а) до (Основные понятия математического анализа) определяются равенством.


1.Основные понятия математического анализа; 2. Основные понятия математического анализа; 3. Основные понятия математического анализа


Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся (ряд сходится или расходится?). Это и есть ответ.


Второй вид


Несобственные интегралы от неограниченной функции имеют вид: Основные понятия математического анализа, где существует точка “с” (точка разрыва) такая, что Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа, т.е. Основные понятия математического анализа(в частности c=a; c=b).

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке “с” отрезка [a;b] и непрерывна при Основные понятия математического анализаили Основные понятия математического анализа, то полагаем: Основные понятия математического анализа

Если пределы в правой части последнего равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл сходится, если пределы не существуют или равны бесконечности - то расходятся.


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение выглядит:


F(x,y,y’,y’’…,y(n))=0 или Основные понятия математического анализа.


2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:

Пример.

F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка.

F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка.

3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция Основные понятия математического анализа, которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.

Пример.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Общее и частное решения.

F(x,y,y’)=0

Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y).

Интегрируем уравнение.

После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.

Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).

Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.

Частное решение.

Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а). у=у0 при х=х0; б). Основные понятия математического анализа; в). у(х0)=у0.

Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.

Подставляя Основные понятия математического анализа в начальное условие Основные понятия математического анализа, находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда Основные понятия математического анализа является частным решением уравнения.

Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши).

Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная Основные понятия математического анализа определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение Основные понятия математического анализа, удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.

Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).

Замечание. “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.

Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы


Основные понятия математического анализа.


Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:


- Основные понятия математического анализа- через производную.

- Основные понятия математического анализа- через дифференциал.


В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая.

Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.

Решение.


- Основные понятия математического анализа

Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа-интегрируем и получаем решение. Основные понятия математического анализа

- Основные понятия математического анализа

Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа


Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом Основные понятия математического анализа выполняется условие: Основные понятия математического анализа.

Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.


P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; Основные понятия математического анализа


Однородное уравнение всегда можно привести к виду Основные понятия математического анализа и с помощью замены Основные понятия математического анализа однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (Основные понятия математического анализа; y=xt; y’=t+xt’).


Линейные дифференциальные уравнения


ЛДУ- уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’.

Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’


U’V+UV’+P(x)UV=Q(x)

V(U’+P(x)U)+UV’=Q(x)

Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:

1). U’+P(x)U=0 находим U. Основные понятия математического анализа 2). UV’=Q(x) находим V. Основные понятия математического анализа. С ставится только при вычислении второго уравнения.

Замечание. Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ.


Уравнения Бернулли


УБ- дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*yn, где

Основные понятия математического анализа- т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.

УБ решаются так же, как и линейные.


Дифференциальные уравнения второго порядка


Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0

Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: Основные понятия математического анализа- общее решение.

Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Начальные условия так же могут задаваться в виде:

у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1.

Три случая понижения порядка


1. Случай непосредственного интегрирования


F(x,y”)=0


y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.


Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа


2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F(x,y’,y”)=0

С помощью замены у’=р; Основные понятия математического анализа это уравнение приводим к уравнению первого порядка Основные понятия математического анализа.

3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит х, т.е. F(y,y’,y”)=0.

С помощью замены y’=p, Основные понятия математического анализа это уравнение приводим к уравнению первого порядка Основные понятия математического анализа.


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами


Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:


y’’+py’+qy=0,


где p и q – некоторые числа.

Составим характеристическое уравнение:


Основные понятия математического анализа,


которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей.

Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:


1). Основные понятия математического анализа, если к1 и к2 – действительные и различные, т.е. Основные понятия математического анализа D>0.

2). Основные понятия математического анализа, если к1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.

3). Основные понятия математического анализа, если к1 и к2 – комплексные, т.е. Основные понятия математического анализа; D<0.


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами


Имеют вид:


Основные понятия математического анализа,


где p и q– некоторые числа.

Общее решение имеет вид:Основные понятия математического анализа, где

y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения; Основные понятия математического анализа- частное решение соответствующего однородного уравнения.

Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение Основные понятия математического анализа, и складывают их.

Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов.

Для нахождения частных решений Основные понятия математического анализа рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:


Основные понятия математического анализа, где Pn(x) – многочлен n–ой степени.


Тогда возможны следующие 3 случая:

А). Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то частное решение Основные понятия математического анализа имеет вид: Основные понятия математического анализа, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), только с неопределенными коэффициентами.

Например.

Pn(x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Qn(x)=A;

Pn(x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Qn(x)=Ax+B;

Pn(x)=x2 - многочлен 2-ой степени (n=2). Qn(x)=Ax2+Bx+C;

Pn(x)=3x3-3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Qn(x)=Ax3+Bx2+Cx+D.

Замечание. Многочлен Qn(x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения.

Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение Основные понятия математического анализа имеет вид: Основные понятия математического анализа.

В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение Основные понятия математического анализа имеет вид: Основные понятия математического анализа.

Итог.

Если Основные понятия математического анализа, то Основные понятия математического анализа, где r– кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если ‘а’ не есть корень; r=1, если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2, если ‘а’ совпадает с двумя корнями.

2. Если правая часть f(x) имеет вид:, Основные понятия математического анализагде Pn(x)–многочлен n–ой степени; Qm(x)-многочлен m–ой степени.

Тогда возможны следующие два случая:

А). Если Основные понятия математического анализа не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (Основные понятия математического анализа), то частное решение Основные понятия математического анализа имеет вид: Основные понятия математического анализа, где SN(x), TN(x)–многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов SN(x) и TN(x) равна наибольшей из степеней многочленов Pn(x) и Qm(x).

Б). Если Основные понятия математического анализа является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (Основные понятия математического анализа), то частное решение Основные понятия математического анализа имеет вид: Основные понятия математического анализа

Замечание.

- Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. Pn(x)=0 или Qm(x)=0, то частное решение Основные понятия математического анализа все равно записывается в полоном виде.

- Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f1(x)+ f2(x)+… fn(x)), то Основные понятия математического анализа.

- Так же рассматриваем все комбинации при расчете Основные понятия математического анализа: cosx, sinx, xcosx, xsinx,x2cosx, x2sinx.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


Комплексным числом (z) называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица.

i определяется: i2=-1 , отсюда Основные понятия математического анализа.

х- действительная часть (x=Rez);

у- мнимая часть (y=Imz).


Геометрическое изображение комплексных чисел


Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа)), показательная (reiОсновные понятия математического анализа).

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).

Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами.

x+iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.


Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа


Подставляем полученные значения в начальную форму:


Основные понятия математического анализа, т.е.


r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Основные понятия математического анализа


Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера:


Основные понятия математического анализа, тогда

Похожие рефераты: