Xreferat.com » Рефераты по математике » Основные понятия математического анализа

Основные понятия математического анализа

loading="lazy" src="https://xreferat.com/image/54/1306465763_90.gif" alt="Основные понятия математического анализа" width="172" height="30" align="BOTTOM" border="0" />


z=reiОсновные понятия математического анализа - показательная форма записи комплексного числа.


Действия над комплексными числами


1. сложение. z1+z2=(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2. вычитание. z1-z2=(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. умножение. z1z2=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2 )+i(x1y2+x2y1);

4. деление. z1/z2=(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=Основные понятия математического анализа

Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.


Произведение

- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.

z1=r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа); z2=r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа).

То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: Основные понятия математического анализа, т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

- Если комплексные числа заданы в показательной форме.

Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа; Основные понятия математического анализа


Частное

- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.


Основные понятия математического анализа


- Если комплексные числа заданы в показательной форме.


Основные понятия математического анализа


Возведение в степень

1. Комплексное число задано в алгебраической форме.

z=x+iy, то zn находим по формуле бинома Ньютона:


Основные понятия математического анализа

zn=(x+iy)n.


Основные понятия математического анализа- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).


Основные понятия математического анализа; n!=1*2*…*n; 0!=1; Основные понятия математического анализа.


Применяем для комплексного числа.


Основные понятия математического анализа

В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:

i0=1 Отсюда, в общем случае получаем: i4k=1

i1=i i4k+1=i

i2=-1 i4k+2=-1

i3=-i i4k+3=-i

i4=1

i5=i

i6=-1

Пример.

i31= i28 i3=-i

i1063= i1062 i=i

2. Если комплексное число задано в тригонометрической форме.


z=r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа), то

Основные понятия математического анализа- формула Муавра.

Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).

3. Если комплексное число задано в показательной форме:


Основные понятия математического анализа


Извлечение корня

Рассмотрим уравнение: Основные понятия математического анализа.

Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z: Основные понятия математического анализа.

Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме:

z=r(cosОсновные понятия математического анализа+isinОсновные понятия математического анализа), то корень n-ой степени от z находится по формуле:


Основные понятия математического анализа, где к=0,1…n-1.


РЯДЫ


Числовые ряды


Пусть переменная а принимает последовательно значения а1,а2,а3,…,аn. Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа . Числа а1,а2,а3,…,аn – члены ряда.

Например.

а1 – первый член ряда.

аn – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).


Основные понятия математического анализа


Числовой ряд имеет бесконечное число членов.


Основные понятия математического анализа


Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле


аn=а1+d(n-1); d=аn-аn-1.


Знаменатель – геометрическая прогрессия.


bn=b1qn-1; Основные понятия математического анализа.


Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.


Sn=а1+а2+…+аn.


Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел: Основные понятия математического анализа

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.


Основные понятия математического анализа, C=const.


Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если Основные понятия математического анализа, и расходящимся, если Основные понятия математического анализа.

Также встречается гармонический ряд (ряд Основные понятия математического анализа). Этот ряд расходящийся.


Свойства числовых рядов

1. Если сходится а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа, то сходится и ряд аm+1+аm+2+аm+3+…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

2. Если ряд а1+а2+а3+… сходится и его сумма равна S, то ряд Са1+Са2+…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.

3. Если ряды а1+а2+… и b1+b2+… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1+b1)+(а2+b2)+(а3+b3)+… и (а1-b1)+(а2-b2)+(а3-b3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.

4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).


Основные понятия математического анализа- необходимый признак (условие) сходимости ряда.

б). Если Основные понятия математического анализа то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда.

Основные понятия математического анализа-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.


Знакоположительные ряды


Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=Основные понятия математического анализа(2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnОсновные понятия математического анализаbn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnОсновные понятия математического анализаbn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел Основные понятия математического анализа, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Основные понятия математического анализа-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера

Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа) существует Основные понятия математического анализа(1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.


Основные понятия математического анализа


4. Признак Коши радикальный

Если для знакоположительного ряда существует предел Основные понятия математического анализа(2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

Основные понятия математического анализа


5. Признак Коши интегральный

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел Основные понятия математического анализа. Это есть несобственный интеграл и обозначается Основные понятия математического анализа.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа- знакоположительный ряд.

Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды Основные понятия математического анализа - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.


Знакопеременные и знакочередующиеся ряды


Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.

Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…=Основные понятия математического анализа (1) (члены как + так и -).

Возьмем ряд Основные понятия математического анализа(3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.

Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).

Если ряд (3) расходится, а:

- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;

- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.

При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.


Схема

Если (3) – сходится Основные понятия математического анализа (1) - сходится абсолютно.

Если (3) – расходится Основные понятия математического анализа

При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.

Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).

Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости:

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bnОсновные понятия математического анализа0) выполняются условия:

1. b1Основные понятия математического анализаb2Основные понятия математического анализаb3Основные понятия математического анализаb4…;

2. Основные понятия математического анализа, - то данный ряд сходится условно.

33


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: