Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Курсовая работа студента гр. МТ-21

Нургалиев А.З.

Павлодарский университет

Павлодар 2005 год.

1. Введение.

В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды.

2. Определенный интеграл.

Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления: . Наибольшую из разностей

 (i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ.

Возьмем в каждом из частных промежутков  по произволу точку

и составим сумму

.

Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами ), неравенство

выполняется при любом выборе чисел .

Записывают это так:

. (1)

Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений  сходится к нулю.

Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом .

Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.

Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом

;

в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].

Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

3. Несобственные интегралы.

Пусть f непрерывна на луче на луче  и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует

,

то этот предел обозначается  и называется сходящимся несобственным интегралом.

Несобственные интеграл вида  и аналогичный интеграл получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при  (или ).

Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то  разбивается на  и , и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.

Пример.

Вычислим .

Пусть ,

Другим видом несобственного интеграла является интеграл , если функция f не ограничена на , но непрерывна на  при любом ,  (или на ), т.е. не ограничена в окрестности точки  (точки b).

Этот интеграл существует (сходится), если существует:

Пример.

, если

f(x) непрерывна на [0,1]. После замены  получаем

.

 не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция  на  при любом ,  равна: , то

.

Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.

,

т.е.

,

где  - первообразная для arcsinx на [0,1].

4.1.Формула Валлиса.

Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:

 (при натуральном m).

Интегрируя по частям, найдём

.

Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя  через , получим

откуда рекуррентная формула:

,

по которой интеграл  последовательно приводится к  и . Именно, при m=2n имеем

,

если же m=2n+1, то

.

Такие же точно результаты получаются и для .

Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать

Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).

Предполагая 0<x<, имеем неравенства

.

Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до :

Отсюда, в силу (1), находим

или

.

Так как разность между двумя крайними выражениями

,

очевидно, стремится к 0 при , то  является их общим пределом. Итак,

или

.

Отсюда в свою очередь вытекает

Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа p через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления p, то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение  оказывается весьма громоздким.

4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.

Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:

;

Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:

 (т.к. ),

имеем соотношение:

;

отсюда заключаем:

,

что дает:

.

Установив это, замечаем, что предел отношения  при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как  убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство:

или:

.

Мы видим, следовательно, что  заключается между единицей и дробью , которая также равна единице при бесконечном n.

Установив это, получаем равенство:

,

которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:

,

и, следовательно:

.

Полагая теперь  в интеграле , мы получим следующее новое выражение:

;

заменив затем z на , получаем:

и, следовательно, при бесконечном n

.

Достаточно затем положить , чтобы установить результат, к которому мы стремились:

.

4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Формула интегрирования по частям: ,

а обобщенная формула примет вид:

. (1)

Положим, что в формуле (1). Тогда , , …, , ; при x=b все функции v, v’, …,  обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде

.

Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла

.

Заменим здесь b через x, а