Xreferat.com » Рефераты по математике » Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Курсовая работа студента гр. МТ-21

Нургалиев А.З.

Павлодарский университет

Павлодар 2005 год.

1. Введение.

В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды.

2. Определенный интеграл.

Пусть функция f(x) задана в некотором промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления: Некоторые приложения определенного интеграла в математике. Наибольшую из разностей

Некоторые приложения определенного интеграла в математике (i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через λ.

Возьмем в каждом из частных промежутков Некоторые приложения определенного интеграла в математике по произволу точку Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

и составим сумму

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Говорят, что сумма σ при λ→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что, лишь только λ<δ (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами Некоторые приложения определенного интеграла в математике), неравенство

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

выполняется при любом выборе чисел Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Записывают это так:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике. (1)

Этому определению «на языке ε-δ», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [α,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений Некоторые приложения определенного интеграла в математике сходится к нулю.

Равенство (1) можно понимать теперь и в том смысле, что последовательность значений суммы σ, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как бы ни выбирать при этом Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.

Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом

Некоторые приложения определенного интеграла в математике;

в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].

Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

3. Несобственные интегралы.

Пусть f непрерывна на луче на луче Некоторые приложения определенного интеграла в математике и F(x) – первообразная для f на луче Некоторые приложения определенного интеграла в математике. Если существует

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

то этот предел обозначается Некоторые приложения определенного интеграла в математике и называется сходящимся несобственным интегралом.

Несобственные интеграл вида Некоторые приложения определенного интеграла в математике и аналогичный интегралНекоторые приложения определенного интеграла в математике получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции t=t(x), непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно большой определенного знака при Некоторые приложения определенного интеграла в математике (или Некоторые приложения определенного интеграла в математике).

Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то Некоторые приложения определенного интеграла в математике разбивается на Некоторые приложения определенного интеграла в математике и Некоторые приложения определенного интеграла в математике, и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.

Пример.

Вычислим Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Пусть Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Другим видом несобственного интеграла является интеграл Некоторые приложения определенного интеграла в математике, если функция f не ограничена на Некоторые приложения определенного интеграла в математике, но непрерывна на Некоторые приложения определенного интеграла в математике при любом Некоторые приложения определенного интеграла в математике, Некоторые приложения определенного интеграла в математике (или на Некоторые приложения определенного интеграла в математике), т.е. не ограничена в окрестности точки Некоторые приложения определенного интеграла в математике (точки b).

Этот интеграл существует (сходится), если существует:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Пример.

Некоторые приложения определенного интеграла в математике, если Некоторые приложения определенного интеграла в математике

f(x) непрерывна на [0,1]. После замены Некоторые приложения определенного интеграла в математике получаем

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Некоторые приложения определенного интеграла в математике не ограничена на [0,1], т.к. первообразная функция Некоторые приложения определенного интеграла в математике на Некоторые приложения определенного интеграла в математике при любом Некоторые приложения определенного интеграла в математике, Некоторые приложения определенного интеграла в математике равна: Некоторые приложения определенного интеграла в математике, то

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

т.е.

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

где Некоторые приложения определенного интеграла в математике - первообразная для arcsinx на [0,1].

4.1.Формула Валлиса.

Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике (при натуральном m).

Интегрируя по частям, найдём

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Двойная подстановка обращает в нуль. Заменяя Некоторые приложения определенного интеграла в математике через Некоторые приложения определенного интеграла в математике, получим

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

откуда рекуррентная формула:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

по которой интеграл Некоторые приложения определенного интеграла в математике последовательно приводится к Некоторые приложения определенного интеграла в математике и Некоторые приложения определенного интеграла в математике. Именно, при m=2n имеем

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

если же m=2n+1, то

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Такие же точно результаты получаются и для Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике при m     неНекоторые приложения определенного интеграла в математикечетном нечётном.

Некоторые приложения определенного интеграла в математике (1)

Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).

Предполагая 0<x<Некоторые приложения определенного интеграла в математике, имеем неравенства

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Проинтегрируем эти неравенства в промежутке от 0 до Некоторые приложения определенного интеграла в математике:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Отсюда, в силу (1), находим

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

или

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Так как разность между двумя крайними выражениями

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

очевидно, стремится к 0 при Некоторые приложения определенного интеграла в математике, то Некоторые приложения определенного интеграла в математике является их общим пределом. Итак,

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

или

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Отсюда в свою очередь вытекает

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Эта формула носит название формулы Валлиса. Она дает довольно простое выражение числа p через натуральные числа. Теоретически этот результат интересен. Что касается ценности этой формулы как средства фактического вычисления p, то она невелика. Именно, чтобы получить удовлетворительную точность, надо взять n довольно большим, а тогда выражение Некоторые приложения определенного интеграла в математике оказывается весьма громоздким.

4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.

Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике;

Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике (т.к. Некоторые приложения определенного интеграла в математике),

имеем соотношение:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике;

отсюда заключаем:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

что дает:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Установив это, замечаем, что предел отношения Некоторые приложения определенного интеграла в математике при бесконечно большом n равен единице; действительно, так как Некоторые приложения определенного интеграла в математике убывает при возрастании n, то мы имеем неравенство:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

или:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Мы видим, следовательно, что Некоторые приложения определенного интеграла в математике заключается между единицей и дробью Некоторые приложения определенного интеграла в математике, которая также равна единице при бесконечном n.

Установив это, получаем равенство:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

и, следовательно:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Полагая теперь Некоторые приложения определенного интеграла в математике в интеграле Некоторые приложения определенного интеграла в математике, мы получим следующее новое выражение:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике;

заменив затем z на Некоторые приложения определенного интеграла в математике, получаем:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

и, следовательно, при бесконечном n

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Достаточно затем положить Некоторые приложения определенного интеграла в математике, чтобы установить результат, к которому мы стремились:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Формула интегрирования по частям: Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

а обобщенная формула примет вид:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике. (1)

Положим, что в формуле (1)Некоторые приложения определенного интеграла в математике. Тогда Некоторые приложения определенного интеграла в математике, Некоторые приложения определенного интеграла в математике, …, Некоторые приложения определенного интеграла в математике, Некоторые приложения определенного интеграла в математике; при x=b все функции v, v’, …, Некоторые приложения определенного интеграла в математике обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’, u’’, … функциональным обозначением f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Заменим здесь b через x, а Некоторые приложения определенного интеграла в математике через Некоторые приложения определенного интеграла в математике:

Некоторые приложения определенного интеграла в математике

Некоторые приложения определенного интеграла в математике.

Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел.

Если угодно, из этого выражения можно было бы вывести и уже знакомые нам формы дополнительного члена. Например, воспользовавшись тем, что множитель Некоторые приложения определенного интеграла в математике подинтегральной функции не меняет знака, можно применить к последнему интегралу обобщенную теорему о среднем

Некоторые приложения определенного интеграла в математике,

где с содержится в промежутке Некоторые приложения определенного интеграла в математике. Таким образом, мы вновь получили