Xreferat.com » Рефераты по математике » О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современные качественные исследования устойчивости


О вариационности некоторых ДУЧП

с отклоняющимися аргументами


И.А. Колесникова


Российский университет дружбы народов

117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

тел.: (095) 952-35-83, e-mail [email protected]


Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами


О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиВ дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

существует производная Гато О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами оператора N, определяемая формулой

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами (1)


Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами (2)

где О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами-ограниченная область вО вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами, с кусочногладкой границей О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиО вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.


Зададим область определения оператора N равенством

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами (3)


Здесь О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами- заданные функции, О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами - неизвестная функция. Числа О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами зависят соответственно от О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами. Если О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами- четны, то О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиПри нечетном О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами полагаем О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами


Обозначим

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами


Введем классическую билинейную форму вида О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамигде О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами (4)

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиБудем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)—>R такой, что

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами замыкание области О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами, будем предполагать, что О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами- выпуклое множество, О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами, для любых фиксированных элементов О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамифункция О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиИскомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.


Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива


Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия


О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиСовременные качественные исследования устойчивости


Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].


2.Примеры.

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиА. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамис граничными условиями


Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиТаким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиО вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиВ. Рассматривается уравнение

где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями


О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами


Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что


О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиО вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументамиИспользуя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида


О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами


ЛИТЕРАТУРА.

[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.


4


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: