Биекторы в конечных группах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

Исполнитель:

студент группы H.01.01.01 М-43

Векшин П.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Основные обозначения

2. Используемые результаты

3. Основные свойства проекторов и инъекторов

4. Биекторы и их свойства

Заключение

Список использованных источников

Введение

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.

Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.

Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.

В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов, -биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой.

В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).

При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.

1. Основные обозначения

2. Используемые результаты

Лемма Если --- класс Шунка, то .

Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Лемма Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Теорема Если --- класс Фиттинга и --- гомоморф, то .

Следствие Если и --- радикальные формации, то .

Теорема Если --- разрешимый класс Шунка, а --- разрешимая насыщенная формация, то --- разрешимый класс Шунка.

Следствие Если и --- разрешимые насыщенные формации, то --- разрешимая насыщенная формация.

Теорема Если и --- классы Фиттинга, то --- класс Фиттинга и .

Лемма Пусть --- разрешимая группа, тогда

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то .

В частности, если и --- разрешимые группы ;

4) .

Теорема Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы сопряжены между собой.

Лемма Пусть --- разрешимая группа. Тогда:

1) ;

2) .

Лемма Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:

1) если - -проектор группы и максимальна в , то - -покрывающая подгруппа группы ;

2) если - -покрывающая подгруппа в группе и , то - -покрывающая подгруппа в ;

3) если - -покрывающая подгруппа группы и , то - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;

4) если и --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .

Теорема Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Тогда является -инъектором группы тогда и только тогда, когда будет -максимальной в и --- -инъектор коммутанта .

Следствие Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Если --- -инъектор группы и , то --- -инъектор в .

Теорема Если --- максимальная подгруппа разрешимой группы , то ,где .

3. Основные свойства проекторов и инъекторов

Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и , то --- -подгруппа группы .

Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

Определение. -проектором группы называется такая подгруппа группы , что , является максимальной в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -биектором, если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .

Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .

Пример Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса всех -групп.

Пример В группе силовская 2-подгруппа является -биектором.

Пример Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.

4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации