Xreferat.com » Рефераты по математике » Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Содержание


Введение

Основные понятия и определения

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

§1. Свойства НОД и НОК

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**)

Библиографический список

Введение


В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп SМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселR+, обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел);

(**) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (0<a<bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Основные понятия и определения


Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и ЖОt.

Тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется топологическим пространством, t – топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – топологическое пространство и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Введем на множестве Х1 топологию t1. Открытыми в пространстве Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел назовем все множества вида Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется подпространством топологического пространства Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х1.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел R+З (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х1.

Очевидно, Х1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1 является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Ж.

Определение 8. Множество Х1 в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения Ч называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 11. Элемент bМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS называется делителем элемента аМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. При этом говорят, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делится на Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, или Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делит Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел|Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел).

Определение 12. Общий делитель элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и обозначается НОДМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 13. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS называется кратным элементу Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и обозначается НОКМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Определение 17. Элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называется простым, если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

бS, Чс– полугруппа;

S – топологическое пространство;

полугрупповая операция Ч непрерывна в S:

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах


§1. Свойства НОД и НОК


Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.

Элементы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел из S называются взаимно простыми, если НОД(Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел,Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел)=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.

Свойства делимости в целых полугруппах

(1) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(2) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – рефлексивность;

(3) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – антисимметричность;

(4) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел – транзитивность;

(5) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(6) Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

(7) Любой простой элемент неприводим;

(8) р неприводим Ы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(a,b) и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел(a,b). Тогда из определения НОД следует Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. По свойству антисимметричности имеем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Импликации Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел очевидны. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, т.е. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для некоторого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b. Для него существуют такой элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, что и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Таким образом, с делит b. Это и означает, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Аналогично доказывается Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следствие 1. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Следствие 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 3. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.

Свойство 4. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b) и c, то d1 – общий делитель и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d1=d2.

Свойство 5. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим k1=НОК(НОК(a,b),c). Так как k1 является общим кратным элементов НОК(a,b) и c, то k1 – общее кратное и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК(a,b) и c. Аналогичным свойством обладает и элемент k2=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k1 и k2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k1=k2.

Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.

Доказательство. По условию НОД(a,b)=d№1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.

Свойство 7. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел=Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сd делит любой общий делитель элементов ас и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 8. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Из условия Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Тогда по свойству (6) делимости элемент Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел делит любой общий делитель элементов Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 9. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Пусть НОДМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и НОД(а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что и означает, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 10. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любых Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN.

Доказательство. Докажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех k < m. Покажем, что Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел при k = m. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по свойству (10) для с = b. Отсюда, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для всех Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселN. Следовательно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Свойство 11. Если Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел для любого Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел.

Доказательство. Пусть Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, тогда а = sd и c = td для некоторых s,tМультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чиселS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел, то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Свойство доказано.

Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.

Доказательство. Если хотя бы одно из чисел Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел или Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел равно 0, то Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и равенство справедливо. Пусть элементы Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел ненулевые и Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел. Поскольку

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: