Xreferat.com » Рефераты по математике » Множества. Операции над множествами

Множества. Операции над множествами

РЕФЕРАТ


Множества. Операции над множествами

СОДЕРЖАНИЕ


Способы задания множества

Включение и равенство множеств

Диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами

а) Объединение множеств

б) Пересечение множеств

в) Разность множеств

Дополнение множества

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

множество студентов в данной аудитории;

множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

множество точек данной геометрической фигуры;

множество чётных чисел;

множество корней уравнения х2-5х+6=0;

множество действительных корней уравнения х2+9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а Множества. Операции над множествамиА, а если а не принадлежит А, то пишут: а Множества. Операции над множествамиА.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5Множества. Операции над множествамиN , но Множества. Операции над множествамиМножества. Операции над множествамиN, Множества. Операции над множествамиМножества. Операции над множествамиN. Если А - множество корней уравнения х2-5х+6=0, то 3 Множества. Операции над множествами А, а 4Множества. Операции над множествамиА.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z+ , Q+, R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ, QЇ, RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.


Способы задания множества


Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

перечисление элементов множества;

указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х2-5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х2-5х+6=0}. Решив уравнение х2-5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х Множества. Операции над множествами Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.

Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А - пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.

Например, А={х | хІ+9=0, хМножества. Операции над множествамиR} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.


Включение и равенство множеств


Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х Множества. Операции над множествами У или У Множества. Операции над множествамиХ. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения Множества. Операции над множествами или Множества. Операции над множествами относятся Множества. Операции над множествамитолько ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности О и Множества. Операции над множествами . Если, например, А - множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В Множества. Операции над множествами А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Множества. Операции над множествами Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Множества. Операции над множествамиХ.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х Множества. Операции над множествамиУ и У Множества. Операции над множествами Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.

Если Х Множества. Операции над множествамиУ, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х Множества. Операции над множествами У. Например: NМножества. Операции над множествамиZ, ZМножества. Операции над множествамиQ, QМножества. Операции над множествамиR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .


Диаграммы Эйлера-Венна


Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

Множества. Операции над множествами


С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:


если АМножества. Операции над множествамиВ, а В Множества. Операции над множествамиС, то АМножества. Операции над множествамиС.


Множества. Операции над множествами


Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х Множества. Операции над множествамиА; так как А Множества. Операции над множествами В, то х Множества. Операции над множествами В, а так как В Множества. Операции над множествами С, то из х Множества. Операции над множествами В следует, что х Множества. Операции над множествами С; значит, из того, что х Множества. Операции над множествами А, следует хМножества. Операции над множествамиС, а поэтому А Множества. Операции над множествами С.


Операции над множествами


С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые операции над множествами мы будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.

Множества. Операции над множествами

Объединение множеств

Объединением АМножества. Операции над множествамиВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А Множества. Операции над множествамиВ={х | хМножества. Операции над множествамиА или хМножества. Операции над множествамиВ}.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:


Множества. Операции над множествами


На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А Множества. Операции над множествами В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А Множества. Операции над множествами В ={2; 3; 5; 6; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А Множества. Операции над множествамиВ=[-2/3; 2] .

3) Пусть А= {х | х=8k, k Множества. Операции над множествами Z}, B={x | x=8n-4, n Множества. Операции над множествами Z}. Тогда A Множества. Операции над множествамиB ={x | 4m, mМножества. Операции над множествамиZ}.

Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже – на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу α множества М отвечает множество Аα, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {Аα} называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аα. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент хМножества. Операции над множествами тогда и только тогда, когда найдется такой индекс α 0 Множества. Операции над множествамиМ, что х Множества. Операции над множествамиA α0 .

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись Множества. Операции над множествами Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств Множества. Операции над множествами.

Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого α є М определим множество Аα =[0;α]; тогда Множества. Операции над множествами= [0;2).

Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т.е. А1 Множества. Операции над множествами A2 = A2 Множества. Операции над множествамиА1, и ассоциативна, т.е. (А1 Множества. Операции над множествами A2) Множества. Операции над множествами А3 = А1 Множества. Операции над множествами (A2 Множества. Операции над множествами А3).


Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | хМножества. Операции над множествами А и х Множества. Операции над множествамиВ}.

Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Множества. Операции над множествами


А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А задается характеристическим свойством Р(х), a множество В-свойством Q(х), то в А ∩ В входят элементы, одновременно обладающие и свойством Р(х), и свойством Q(х).

Примеры пересечений двух множеств:

Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7} .Тогда А ∩ В={5; 7}.

Пусть А=[-1/4; 7/4], В=[-2/3; 3/2]. Тогда А ∩ В= [-1/4; 3/2].

Пусть А= {х | х=2k, k є Z}, B={x | x=3n, n є Z}. Тогда А ∩ В ={x | x=6m, m Множества. Операции над множествами Z}.

Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Операцию пересечения можно определить и для произвольной системы множеств {Аα}, где α Множества. Операции над множествами М. Пересечением системы множеств {Аα}, называется множество Множества. Операции над множествами, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств Аα, α Множества. Операции над множествамиМ, т.е. Множества. Операции над множествами= {x | xМножества. Операции над множествами Аα для каждого α Множества. Операции над множествами М}.

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись Множества. Операции над множествами. Если M=N, то имеем пересечение последовательности множеств Множества. Операции над множествами.

В рассмотренном выше примере системы множеств Аα =[0; α], αМножества. Операции над множествамиМ =(1; 2) получим:Множества. Операции над множествами=[0;1].

Операция пересечения множеств, как и операция объединения, очевидно, коммутативна и ассоциативна, т.е. А1∩A2 = A2 ∩А1 и (А1∩A2)∩ А3= А1∩(A2 ∩ А3).


Разность множеств

Разностью АВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.


АВ={х | х Множества. Операции над множествамиА и хМножества. Операции над множествамиВ},


что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:


Множества. Операции над множествами


На диаграмме разность АВ выделена штриховкой.

Примеры разностей множеств:

Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда АВ ={2;7}, а ВА={3; 6}.

Пусть А=[-1/4;2], В=[-2/3; 7/4]. Тогда АВ=(7/4;2], а ВА=[-2/3; -1/4).

Пусть А - множество всех четных целых чисел, В - множество всех целых чисел, делящихся на 3. тогда АВ - множество всех четных целых чисел, которые не делятся на 3, а ВА –множество всех нечетных целых чисел, кратных трем.


Дополнение множества


Пусть множество А и В таковы, что АМножества. Операции над множествамиВ. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность ВА. В этом случае применяется обозначение СBА=ВА. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=СUА=UА и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: Множества. Операции над множествами СА={x | x Множества. Операции над множествамиA}.

На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения СВА и СА:


Множества. Операции над множествами


Множества. Операции над множествами

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: