Xreferat.com » Рефераты по математике » Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Курсовая работа по дисциплине  "Специальные разделы математики"

Выполнил студент Новичков А. А., группа: 450

Севмашвтуз - Филиал СПбГМТУ

Кафедра №2

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним из основных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, или движения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшим является выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихся начальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызывать малые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теории Ляпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлении расстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основы теории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальных уравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения, необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивости решений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаются основы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем дифференциальных уравнений.

1.1. Основные определения.

Пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярные функции.

Определение. Совокупность уравнений

  Устойчивость систем дифференциальных уравнений        (1)

называется нормальной системой n дифференциальных уравнений первого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

  Устойчивость систем дифференциальных уравнений            

Определение. Решением системы (1) на интервале (a, b) называется совокупность n функций Устойчивость систем дифференциальных уравнений, непрерывно дифференцируемых на этом интервале, если при всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений;

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений системы, определенное в окрестности точки Устойчивость систем дифференциальных уравнений, которое удовлетворяет начальным условиям Устойчивость систем дифференциальных уравнений …, Устойчивость систем дифференциальных уравнений, где Устойчивость систем дифференциальных уравнений — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если все функции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы по всем Устойчивость систем дифференциальных уравнений в окрестности точки Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Каждому решению системы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.

Определение. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений — решение системы (1) на промежутке (a, b), то множество точек (x, Устойчивость систем дифференциальных уравнений), Устойчивость систем дифференциальных уравнений, (n+1)-мерного пространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (Устойчивость систем дифференциальных уравнений), Устойчивость систем дифференциальных уравнений, n-мерного пространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования и единственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекаться или иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушения единственности, так как начальная точка определяется n+1 координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положение равновесия).

Система (1) называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимая переменная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений,

или в матричной форме Устойчивость систем дифференциальных уравнений             (1')

где Устойчивость систем дифференциальных уравнений Устойчивость систем дифференциальных уравнений, Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Фундаментальной матрицей линейной однородной системы называется матричная функция (t), определитель которой отличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: Устойчивость систем дифференциальных уравнений. С помощью фундаментальной матрицы (t) общее решение системы можно записать в виде Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица, обладающая свойством Устойчивость систем дифференциальных уравнений, называется нормированной при Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений — нормированная при Устойчивость систем дифференциальных уравнений фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде Устойчивость систем дифференциальных уравнений, где Устойчивость систем дифференциальных уравнений — начальное при Устойчивость систем дифференциальных уравнений значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:Устойчивость систем дифференциальных уравнений          (2)

где функция f(x) определена в Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Автономные системы обладают тем свойством, что если Устойчивость систем дифференциальных уравнений — решение уравнения (2), то Устойчивость систем дифференциальных уравнений, Устойчивость систем дифференциальных уравнений, также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение Устойчивость систем дифференциальных уравнений можно записать в виде Устойчивость систем дифференциальных уравнений. В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой Устойчивость систем дифференциальных уравнений, поэтому можно везде считать Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Пусть Устойчивость систем дифференциальных уравнений — положение равновесия, т. е. Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Для того чтобы точка Устойчивость систем дифференциальных уравнений была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Предположим теперь, что траектория решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют Устойчивость систем дифференциальных уравнений, такие, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Так как Устойчивость систем дифференциальных уравнений — не положение равновесия, то Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Поэтому можно считать, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений при Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Обозначим Устойчивость систем дифференциальных уравнений и покажем, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений — -периодическая функция.

Действительно, функция Устойчивость систем дифференциальных уравнений является решением уравнения (2) при Устойчивость систем дифференциальных уравнений, причем Устойчивость систем дифференциальных уравнений. В силу единственности Устойчивость систем дифференциальных уравнений и Устойчивость систем дифференциальных уравнений совпадают при всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Применяя аналогичное рассуждение к решению Устойчивость систем дифференциальных уравнений, получим, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений определено при Устойчивость систем дифференциальных уравнений и функции Устойчивость систем дифференциальных уравнений и Устойчивость систем дифференциальных уравнений совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить Устойчивость систем дифференциальных уравнений на все Устойчивость систем дифференциальных уравнений, при этом должно выполняться тождество

Устойчивость систем дифференциальных уравнений,

то есть Устойчивость систем дифференциальных уравнений — периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение. Точка Устойчивость систем дифференциальных уравнений называется -предельной точкой траектории Устойчивость систем дифференциальных уравнений, Устойчивость систем дифференциальных уравнений, если существует последовательность Устойчивость систем дифференциальных уравнений такая, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений при Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Множество  всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории Устойчивость систем дифференциальных уравнений при Устойчивость систем дифференциальных уравнений определяется понятие -предельной точки как предела Устойчивость систем дифференциальных уравнений, а также -предельного множества.

Определение. Траектория Устойчивость систем дифференциальных уравнений называется положительно (отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. Устойчивость систем дифференциальных уравнений (Устойчивость систем дифференциальных уравнений)), если существует компакт Устойчивость систем дифференциальных уравнений такой, что Устойчивость систем дифференциальных уравнений при всех Устойчивость систем дифференциальных уравнений (Устойчивость систем дифференциальных уравнений), при которых Устойчивость систем дифференциальных уравнений определена. Иными словами, если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазового пространства.

Можно показать, что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактно и связно.

Траектория Устойчивость систем дифференциальных уравнений называется устойчивой по Пуассону, если каждая ее точка является -предельной и -предельной, т. е. Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Примером устойчивой по Пуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматривается траектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будет в том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малую окрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми по Пуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двух периодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложные траектории, возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (без доказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.

1. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.

2. Если траектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то эта траектория замкнутая или представляет собой точку покоя.

3. Если траектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоя системы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при Устойчивость систем дифференциальных уравнений к некоторому циклу.

4. Пусть в некоторой окрестности замкнутой траектории Устойчивость систем дифференциальных уравнений нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточно близко от , спиралевидно приближаются к  при Устойчивость систем дифференциальных уравнений или при Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Пример. Рассмотрим автономную систему при Устойчивость систем дифференциальных уравнений:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Для исследования системы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаем следующие уравнения для определения Устойчивость систем дифференциальных уравнений:

Устойчивость систем дифференциальных уравнений

откуда получаем Устойчивость систем дифференциальных уравнений.

Первое из этих уравнений легко интегрируется. Оно имеет решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений и Устойчивость систем дифференциальных уравнений. При Устойчивость систем дифференциальных уравнений решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений монотонно убывают от Устойчивость систем дифференциальных уравнений до 0, а при Устойчивость систем дифференциальных уравнений решения Устойчивость систем дифференциальных уравнений монотонно возрастают от Устойчивость систем дифференциальных уравнений до бесконечности. Так как Устойчивость систем дифференциальных уравнений, то отсюда следует, что при Устойчивость систем дифференциальных уравнений и Устойчивость систем дифференциальных уравнений все траектории системы образуют спирали, раскручивающиеся от окружности Устойчивость систем дифференциальных уравнений к бесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченном возрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, у которых Устойчивость систем дифференциальных уравнений. Если Устойчивость систем дифференциальных уравнений, то -предельное множество траектории пусто. Окружность Устойчивость систем дифференциальных уравнений является замкнутой траекторией и одновременно -предельным множеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотрим автономную

Похожие рефераты: