Устойчивость систем дифференциальных уравнений

линейную однородную систему  (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1)  вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими  или . При  и

.

Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

2)  вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

3)  комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где  и  — линейно независимые собственные векторы, соответствующие  и . Так как А вещественна,  и  можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная  связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты , или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.

Следовательно, . При  траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При  все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

   

Решением этой системы будет функция . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. 1. Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы с периодическими коэффициентами.

В данном пункте излагается так называемая теория Флоке.

Будем рассматривать систему вида      (4)

где , а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + ) = P(t), >0 при всех . Такие матричные функции будем называть периодическими с периодом  или -периодическими.

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В, определяемая равенством , называется матрицей монодромии. Для нее справедливо . Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можно показать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромии называют ту, которая порождается нормированной при  фундаментальной матрицей , то есть .

Собственные числа  матрицы монодромии называются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа  матрицы R — характеристическими показателями. Из определения R имеем , при этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным — характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристические показатели определены с точностью до . Из  и формулы Лиувилля следует, что .

Название мультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число  является мультипликатором уравнения (4) тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение  этого уравнения такое, что при всех t .

Следствие 1. Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода  тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из ее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2. Мультипликатору  соответствует так называемое антипериодическое решение  периода , т. е. . Отсюда имеем:

Таким образом,  есть периодическое решение с периодом . Аналогично, если  (p и q — целые, ), то  периодическая система имеет периодическое решение с периодом .

Пусть , где  — матрица из теоремы Флоке,  — ее жорданова форма. По теореме Флоке , или ,  (5)

где  — фундаментальная матрица,  — -периодическая матрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическими коэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что и собственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицы линейной системы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

  , (6)

где  — -периодическая вещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называть мультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы

с матрицей . Так как , то . Мультипликаторы являются собственными числами матрицы

,

где  — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям  , а  — решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям  . Пусть  — характеристическое уравнение для определения мультипликаторов. Так как , то оно принимает вид , где .

2. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводя определение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывались свойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпунову характеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий, располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте из начальной точки  порождает траекторию . Рассмотрим другую траекторию той же системы , стартовая точка которой близка к . Если обе траектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория  называется устойчивой по Ляпунову.

Наглядная иллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2. Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в виду устойчивость по Ляпунову.

Рис. 2. Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается в замкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (две близкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотрим уравнение    (1)

где  и функция f удовлетворяет в G условию Липшица локально:

 и , где  — константа, не зависящая от выбора точек  и .

Предположим, что уравнение (1) имеет решение , определенное при , и что . Чтобы перейти к исследованию нулевого решения, выполним в (1) замену . В результате получим уравнение

  ,         (2)

где  определена в области, содержащей множество . Это уравнение называется уравнением в отклонениях. Пусть  — решение (2) с начальными данными .

Определение. Решение  уравнения (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для , такое, что при  .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует  такое, что  при .

Неустойчивость решения  означает следующее: существуют положительное , последовательность начальных точек  при , и последовательность моментов времени  такие, что .

При исследовании вопроса об устойчивости