Интеграл Пуассона
Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -, , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку
fg(x)
=
dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и
cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )
где cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
=
-i
n tdt
, n = 0,
Пусть L1 (-) . Рассмотрим при r функцию
r
( x ) =
n
( f ) rn
ei n x
, x
, ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , r . Коэффициенты Фурье функции r х равны
cn
( fr
) = cn
r
n
, n = 0 , ,
а это согласно
(1) значит, что
r
x
можно представить
в виде свертки
:
r
( x ) =
, ( 3 )
где
, t
( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr
( t ) =
, 0r
, t
. ( 5 )
Если L ( - ) действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) =
=
,
( 6 )
где
F ( z ) =
c0
( f ) + 2
( z = reix
)
( 7 )
аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции L1( -, ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0 r 1 , x [ -, ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге z функция и (x) = u (eix) , x, . Тогда
u (z) =
( z = reix
,
z
) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=
,
z
+
.
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)
;
б)
;
в) для любого >0
Соотношения
а) и в) сразу следуют
из формулы (5),
а для доказательства
б) достаточно
положить в (2)
и (3)
х
.
Теорема 1.
Для произвольной
(комплекснозначной)
функции
(
-,
) , 1
p <
, имеет
место равенство
;
если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой
функции
, пользуясь
неравенством
Гельдера и
положительностью
ядра Пуассона
, находим
.
Следовательно,
.
Для данного
найдем
=
()
такое, что
.
Тогда для r
, достаточно
близких к единице,
мы получим
оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция
суммируема
на любом интервале
(-А, А), А
> 0 . Максимальной
функцией для
функции
называется
функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор
называется
оператором
слабого типа
(р,р) , если для
любого y
> 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть
-
комплекснозначная
функция из
. Тогда
для п.в.
.
Доказательство.
Покажем, что
для
и
