Xreferat.com » Рефераты по математике » Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

. Метод Ньютона-Котеса. Метод Гаусса


1. Численные методы вычисления интегралов. Постановка задачи


Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций Численные методы вычисления интегралов. Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда Численные методы вычисления интегралов - конечный интервал.

В таком случае, как известно, функция Численные методы вычисления интегралов является ограниченной, т.е. Численные методы вычисления интегралов. В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от Численные методы вычисления интегралов заменяется некоторой линейной комбинацией значений Численные методы вычисления интегралов в Численные методы вычисления интегралов точках Численные методы вычисления интегралов:


Численные методы вычисления интегралов(1)


Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты Численные методы вычисления интегралов - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы Численные методы вычисления интегралов - узлами квадратурной формулы.

Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения Численные методы вычисления интегралов были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.


2. Методы Ньютона-Котеса


Пусть Численные методы вычисления интегралов различные точки отрезка Численные методы вычисления интегралов, служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию Численные методы вычисления интегралов функции Численные методы вычисления интегралов. Тогда имеем:


Численные методы вычисления интегралов(2)


где Численные методы вычисления интегралов - остаточный член. Предположим, что


Численные методы вычисления интегралов(3)


причём Численные методы вычисления интегралов подобраны так, чтобы все интегралы


Численные методы вычисления интегралов(4)


можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу


Численные методы вычисления интегралов (5)


2.1 Формула трапеций


Численные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧастным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):


Численные методы вычисления интегралов


Рис. 1.


а) графический вывод:

Определённый интеграл Численные методы вычисления интегралов, как известно, задаёт площадь Численные методы вычисления интегралов криволинейной трапеции Численные методы вычисления интегралов, поэтому, вписав ломаную в дугу кривой Численные методы вычисления интегралов, мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:


Численные методы вычисления интегралов(6)


Между тем, очевидно, что


Численные методы вычисления интегралов(7)


Так как, в методах Ньютона-Котеса, Численные методы вычисления интегралов, учитывая (6) получаем:

Численные методы вычисления интегралов (8)


или, соединяя подобные члены, имеем:


Численные методы вычисления интегралов (9)


Формула (9) – называется формулой трапеций.

б) Аналитический вывод:

Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка Численные методы вычисления интегралов, построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения Численные методы вычисления интегралов. Ясно, что в таком случае интерполирующая функция Численные методы вычисления интегралов имеет вид:


Численные методы вычисления интегралов(10)


т.к. в методе Ньютона-Котеса Численные методы вычисления интегралов, учитывая (3) и (4), из (10) получаем:


Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов (11)

Аналогично, Численные методы вычисления интегралов, т.е.

Численные методы вычисления интегралов (12)


Таким образом, получаем формулу:


Численные методы вычисления интегралов (13)


тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:


Численные методы вычисления интегралов (14)


где Численные методы вычисления интегралов. Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).


2.2 Формула Симпсона


Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е. Численные методы вычисления интегралов), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале Численные методы вычисления интегралов, необходимо знание значения функции Численные методы вычисления интегралов в трёх точках (т.к. Численные методы вычисления интегралов имеет 3 неизвестных параметра – коэффициенты Численные методы вычисления интегралов). В качестве третьей точки на каждом отрезке Численные методы вычисления интегралов - выбирается середина этого отрезка, т.е. точка Численные методы вычисления интегралов.

Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции Численные методы вычисления интегралов, на отрезке Численные методы вычисления интегралов, при чём считаем, что нам известны значения Численные методы вычисления интегралов. Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:


Численные методы вычисления интегралов (15)


Интегрируя (15) на отрезке Численные методы вычисления интегралов будем иметь формулу:


Численные методы вычисления интегралов(16)


используя свойство аддитивности интеграла, получаем:


Численные методы вычисления интегралов(17)


где Численные методы вычисления интеграловявляется четным числом (Численные методы вычисления интегралов- число делений отрезка Численные методы вычисления интегралов,т.е. число равных отрезков разбиения).

Формула (17)-называется формулой Симпсона.

Приняв обозначения Численные методы вычисления интегралов, получаем привычный вид квадратурных формул:

а) Формула трапеций:

Численные методы вычисления интегралов(18)


б) Формула парабол (Симпсона) (при Численные методы вычисления интегралов)


Численные методы вычисления интегралов(19)


2.3 Метод Ромберга


Пусть промежуток интегрирования разбит на Численные методы вычисления интегралов равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение Численные методы вычисления интегралов. Значение Численные методы вычисления интегралов - совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция Численные методы вычисления интегралов линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле:


Численные методы вычисления интегралов(20)


называемой формулой Ромберга, построим Численные методы вычисления интегралов- схему:


Численные методы вычисления интегралов(21)


Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки Численные методы вычисления интегралов- схемы сходятся к исходному значению интеграла.

Пример: Выписать явные формулы для фрагмента Численные методы вычисления интегралов- схемы:


Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов


Решение:


Пусть Численные методы вычисления интеграловТогда

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов

Численные методы вычисления интегралов


3. Квадратурные формулы Гаусса


Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах, получаемых методом Ромберга, используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при Численные методы вычисления интеграловгауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени Численные методы вычисления интегралов.


Численные методы вычисления интегралов(22)


Для количества узлов и соответствующих значений Численные методы вычисления интегралови Численные методы вычисления интегралов- составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).

Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.

Пример:

Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами Численные методы вычисления интегралов,по которой точно интегрируются многочлены до Численные методы вычисления интеграловстепень включительно.

Решение: Искомая формула имеет вид:


Численные методы вычисления интегралов,(23)


где Численные методы вычисления интегралов - остаток, который обращается в нуль, для


Численные методы вычисления интегралов, при Численные методы вычисления интегралов.


Тогда, подставляя в (23) имеем:


Численные методы вычисления интегралов(24)


Отсюда, приравнивая коэффициенты при Численные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интегралов, справа и слева, получаем систему уравнений:


Численные методы вычисления интегралов(25)


Ее решение имеет вид:


Численные методы вычисления интегралов(26)


Следовательно, искомая квадратурная формула такова:


Численные методы вычисления интегралов.(27)

Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:

а) промежуток интегрирования Численные методы вычисления интегралов делим на Численные методы вычисления интегралов- равных промежутков и на каждом маленьком промежутке Численные методы вычисления интегралов применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);

б) полученные результаты складываем.

В случае, когда Численные методы вычисления интегралов, оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на Численные методы вычисления интегралов- частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.

Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.

Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.


4. Оценка интегралов


При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:

а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция Численные методы вычисления интегралов, удовлетворяет условию:


Численные методы вычисления интегралов для Численные методы вычисления интегралов (28)


б) общий случай.

Рассмотрим интеграл:


Численные методы вычисления интегралов (29)


где Численные методы вычисления интегралов, Численные методы вычисления интегралов. Не умоляя общность, будем считать, что Численные методы вычисления интегралов, Численные методы вычисления интегралов, тогда (Рис. 1) ясно, что


Численные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интегралов


К Е


N


М


0 Численные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интегралов

Рис. 1

0 Численные методы вычисления интегралов Численные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интеграловЧисленные методы вычисления интегралов


Площадь криволинейной трапеции Численные методы вычисления интегралов заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.


Численные методы вычисления интегралов(30)


Очевидно, что


Численные методы вычисления интегралов(31)

Численные методы вычисления интегралов(32)


Таким образом, для оценки интеграла в случае Численные методы вычисления интегралов, имеем:


Похожие рефераты: