Xreferat.com » Рефераты по математике » Теория вероятности и мат статистика

Теория вероятности и мат статистика

эти n-чисел можно считать результатом одного испытания над n-мерной случайной величиной, у которой Xi независимы и распределены как X, т.е.

Тогда является реализацией следующего

Для справедлив закон больших чисел, следовательно является хорошей оценкой величины X.

Основы теории характеристических функций


Комплексная случайная величина Z определяется с помощью двумерной случайной величины (X,Y) следующим выражением

Операции над комплексными случайными величинами совпадают с операциями над комплексными числами.

Рассмотрим скалярную функцию случайных аргументов и числа i.

тогда в теории вероятности математическое ожидание случайной величины вычисляется по тем же формулам, что и , просто i считают постоянным параметром.

Найдем мат.ожидание случайной величины Z.

1. Для комплексной случайной величины справедливы свойства аддитивности и мультиплекативности мат.ожидания.

2. Комплексные случайные величины Z1 и Z2 называются независимыми, если независимы между собой двумерные случайные величины , т.е. попарно независимы

Пусть Z1 и Z2 независимые комплексные случайные величины. Найдем мат.ожидание произведения

3.

а) дискретный случай

б) непрерывный случай

Двумерная случайная величина XY имеет плотность вероятности f(x,y).

Характеристической функцией действительной случайной величины X называется функция


Свойства характеристической функции


1. Для дискретного случая

2. Для непрерывного случая

Будем считать, что плотность вероятности f(x) существует, тогда

3.

Это свойство гарантирует, что характеристическая функция всегда существует

4. Пусть случайная величина

y=ax+b

5. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций.

Пусть

хi - независимы

Тогда

Отсюда

6. Если у случайной величины Х конечен начальный момент n-го порядка, то

а) для - существуют к-е производные и при этом

б) имеет место разложение

Для того, чтобы полученное равенство было справедливо, необходимо доказать, что мы можем дифференцировать под знаком интеграла.

Для доказательства приведем ряд фактов.

1. Аналог теоремы Либега для интегралов Римана

Пусть функция интегрируема по Риману и при всех х

сходимость в каждой точке известна.

Пусть при этом

- некоторая функция, мажорирующая данную. Пусть при этом конечен интеграл

т.е.

Тогда


2. Некоторые свойства мат.ожиданий действительной случайной величины

1) Если х>0, то МХ>0 - доказать самим

Дискретный случай

Введем случайную величину

Аналогично

Очевидно, что

Следовательно

Тогда

Пара может принимать значения:

а) (-,+) в этом случае говорится, что МХ не определено.

б) (-,<) в этом случае говорится, что МХ не ограничено.

в) (<, ) MX=-

(<, <) MX<

Очевидно, что

Вывод:

Если MX конечно, то конечно и M/X/

MX<, то M/X/<

Если MXk конечно, то конечно и M/Xk/

MXk<, то M/Xk/<


3. Пусть , тогда

на основании пункта 1.


4. Имеет место очевидное неравенство


5. Пусть существует , тогда для всех

Сумма интегралов

Возвращаемся к доказательству.

Докажем формулу

Доказательство проведем по мат.индукции.

Проверяем при k=0

формула справедлива.

Пусть формула справедлива для k

Рассмотрим.

Получили:

Покажем, что интеграл конечен.

Если , то и конечно. А конечно по условию, тогда для

Таким образом можно применять теорему Либега.

Это мы доказали справедливость формулы

Доказательство разложения - пункт б) является справедливым, если при исследовании остаточного члена учесть, что /i/<1.


55


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: