Xreferat.com » Рефераты по математике » Определение интегралов

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Определение интегралов

Размещено на /

Задание. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием.

а)


Определение интегралов


Используемый прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим результат дифференцированием.


Определение интегралов


б)

В этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала


Определение интегралов

Определение интегралов


Проверим результат дифференцированием.


Определение интегралов

в)


Определение интегралов


Для решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования "по частям". Приведем формулу интегрирования по частям:


Определение интегралов


В этом интеграле распишем составляющие следующим образом:


Определение интегралов

Определение интегралов


Продифференцируем u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по частям:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Подинтегральное выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель.


Определение интегралов

Определение интегралов


Вернемся к исходному интегралу:


Определение интегралов


Проверим результат дифференцированием:


Определение интегралов

Определение интегралов


г)

интеграл дифференцирование уравнение парабола

Определение интегралов


Подинтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни знаменателя


Определение интегралов


по теореме Виета


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Разложим правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных коэффициентов:


Определение интегралов


Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В:


Определение интеграловОпределение интегралов

Определение интегралов


Решая СЛАУ находим значения коэффициентов:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Возвратимся к исходному интегралу:


Определение интегралов


Результат проверим дифференцированием:


Определение интегралов


Задание. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.

Определение интегралов


Перейдем к замене переменных в определенном интеграле:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой Определение интегралов и прямой Определение интегралов. Сделать чертеж.

Решение. Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x), слева - вертикальной прямой Определение интегралов, справа - вертикальной прямой равна Определение интегралов равна определенному интегралу:


Определение интегралов


Так как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке Определение интегралов, построим чертеж. Точки Определение интегралов, Определение интегралов являются абсциссами точек пересечения графиков этих двух функций.

Определение интегралов


Как видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому:


Определение интегралов

Определение интегралов


Абсциссы точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем получить решив в системе уравнения двух кривых


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


по теореме Виета имеем: Определение интегралов, Определение интегралов. Теперь осталось только применить формулу вычисления площади криволинейной области:

Определение интегралов

Определение интеграловОпределение интеграловОпределение интеграловОпределение интегралов


Найти общее решение дифференциального уравнения Определение интегралов и частное решение, удовлетворяющее начальному условию Определение интегралов при Определение интегралов


Определение интегралов


Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х: Определение интегралов

Запишем исходное выражение в виде:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Выберем функцию Определение интегралов такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю:


Определение интегралов

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение Определение интегралов в уравнение Определение интегралов для определения u.


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Таким образом находим общее решение системы

Определение интегралов


Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия Определение интегралов, что будет являться частным решением дифференциального уравнения:


Определение интегралов

Определение интегралов


Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям.


Определение интегралов


Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения Определение интегралов и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Определение интегралов, Определение интегралов при Определение интегралов. (Определение интегралов,Определение интегралов)

Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка:


Определение интегралов


Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения:


Определение интегралов


Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения.

Характеристическое уравнение в нашем случае есть:


Определение интегралов


имеет действительные и различные корни: Определение интегралов, Определение интегралов.

Общий интеграл есть: Определение интегралов

Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: Определение интегралов , где Определение интегралов - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена).

поэтому частное решение следует искать в виде:


Определение интегралов


где Определение интегралов - постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь:


Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов

Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде:


Определение интегралов


Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид:


Определение интегралов


Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия:

При х=0 функция равна 2


Определение интегралов

Определение интегралов


При х=0 первая производная функции равна -1:


Определение интегралов

Определение интегралов


Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2


Определение интеграловОпределение интегралов Определение интегралов Определение интегралов

Определение интегралов


Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

Определение интегралов

Определение интегралов

Определение интегралов


Размещено на