Xreferat.com » Рефераты по математике » Застосування частинних похідних

Застосування частинних похідних

Размещено на /


ЗАСТОСУВАННЯ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ


1. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних


Нехай задано поверхню


Застосування частинних похідних. (1)


Точка Застосування частинних похідних належить цій поверхні і функція Застосування частинних похідних диференційована в точці Застосування частинних похідних, причому не всі частинні похідні в точці Застосування частинних похідних дорівнюють нулю, тобто


Застосування частинних похідних.


Розглянемо довільну кривуЗастосування частинних похідних, яка проходить через точку Застосування частинних похідних, лежить на поверхні (1) і задається рівнянням


Застосування частинних похідних


де точці Застосування частинних похідних відповідає параметр Застосування частинних похідних.

Оскільки крива лежить на поверхні, то координати її точок задовольняють рівняння (1):


Застосування частинних похідних. (2)


Диференціюючи рівність (2), маємо:


Застосування частинних похідних. (3)

Ця рівність показує, що вектори (рис. 1)


Застосування частинних похідних


ортогональні, причому другий з них є напрямним вектором дотичної до кривої Застосування частинних похідних у точці Застосування частинних похідних.

Крім того, з рівності (3) випливає, що дотичні до всіх кривих, які проходять через точку Застосування частинних похідних і лежать на поверхні (1), ортогональні до одного й того самого вектора Застосування частинних похідних. Тоді всі ці дотичні лежать в одній і тій самій площині, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці Застосування частинних похідних.

Знайдемо рівняння дотичної площини. Оскільки ця площина проходить через точку Застосування частинних похідних перпендикулярно до вектора Застосування частинних похідних, то її рівняння має вигляд.


Застосування частинних похідних.(4)


Нормаллю до поверхні в точці Застосування частинних похідних називають пряму, що проходить через точкуЗастосування частинних похідних перпендикулярно до дотичної площини в цій точці.

Оскільки нормаль проходить через точку Застосування частинних похідних і має напрямний вектор Застосування частинних похідних, то канонічні рівняння нормалі мають такий вигляд:


Застосування частинних похідних. (5)


Якщо рівняння поверхні задано в явній форміЗастосування частинних похідних, то, поклавшиЗастосування частинних похідних, отримаємо

Застосування частинних похідних,


тоді рівняння (4) і (5) наберуть вигляду:


Застосування частинних похідних;(6)

Застосування частинних похідних.(7)


Застосування частинних похідних

Рисунок 1 – Дотична площина та нормаль до поверхні


Застосування частинних похідних

Рисунок 2 – Геометричний зміст повного диференціала функції Застосування частинних похідних


З'ясуємо геометричний зміст повного диференціала функціїЗастосування частинних похідних. Якщо у формулі (6) покластиЗастосування частинних похідних, то ця формула запишеться у вигляді


Застосування частинних похідних.


Права частина цієї рівності є повним диференціалом функції Застосування частинних похідних в точціЗастосування частинних похідних, тому Застосування частинних похідних.

Таким чином, повний диференціал функції двох змінних у точці Застосування частинних похідних дорівнює приросту аплікати точки на дотичній площині до поверхні в точціЗастосування частинних похідних, якщо від точки Застосування частинних похідних перейти до точки Застосування частинних похідних (рис. 2).

Зауваження 1. Ми розглянули випадок, коли функція Застосування частинних похідних диференційована в точці Застосування частинних похідних іЗастосування частинних похідних.

Якщо ці умови не виконуються в деякій точці (її називають особливою), то дотична та нормаль в такій точці можуть не існувати.

Зауваження 2. Якщо поверхня (1) є поверхнею рівня для деякої функціїЗастосування частинних похідних, тобтоЗастосування частинних похідних, то вектор


Застосування частинних похідних


буде напрямним вектором нормалі до цієї поверхні рівня.


2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт


Область простору, кожній точці Застосування частинних похіднихякої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини Застосування частинних похідних, називають скалярним полем. Інакше кажучи, скалярне поле – це скалярна функція Застосування частинних похідних разом з областю її визначення.


Застосування частинних похідних


Рисунок 3.3 – Вектор Застосування частинних похідних


Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.

Для того щоб задати скалярне поле, достатньо задати скалярну функцію Застосування частинних похідних точки Застосування частинних похідних і область її визначення.

Якщо функція Застосування частинних похідних не залежить від часу, то скалярне поле називають стаціонарним, а скалярне поле, яке змінюється з часом, – нестаціонарним. Надалі розглядатимемо лише стаціонарні поля.

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координатЗастосування частинних похідних, то точка Застосування частинних похідних в цій системі матиме певні координати Застосування частинних похідних і скалярне поле u стане функцією цих координат:

Застосування частинних похідних.


Якщо скалярна функція Застосування частинних похідних залежить тільки від двох змінних, наприклад x і Застосування частинних похідних, то відповідне скалярне поле Застосування частинних похідних називають плоским; якщо ж функція Застосування частинних похідних залежить від трьох змінних: x, Застосування частинних похіднихіЗастосування частинних похідних, то скалярне поле Застосування частинних похідних називають просторовим.

Геометрично плоскі скалярні поля зображують за допомогою ліній рівня, а просторові – за допомогою поверхонь рівня.

Для характеристики швидкості зміни поля в заданому напрямі введемо поняття похідної за напрямом.

Нехай задано скалярне поле Застосування частинних похідних. Візьмемо в ньому точку Застосування частинних похідних і проведемо з цієї точки векторЗастосування частинних похідних, напрямні косинуси якого Застосування частинних похідних.

На векторі Застосування частинних похідних на відстані Застосування частинних похідних від його початку візьмемо точку Застосування частинних похідних.

Тоді


Застосування частинних похідних.


Обчислимо тепер приріст Застосування частинних похідних функції Застосування частинних похідних при переході від точки Застосування частинних похідних до точки Застосування частинних похідних у напрямі вектораЗастосування частинних похідних:


Застосування частинних похідних.

Якщо існує границя відношення Застосування частинних похідних приЗастосування частинних похідних, то цю границю називають похідною функції Застосування частинних похідних в точці Застосування частинних похідних за напрямом вектораЗастосування частинних похідних і позначаютьЗастосування частинних похідних, тобто


Застосування частинних похідних.


Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Припустимо, що функція Застосування частинних похідних диференційована в точці M. Тоді її повний приріст у цій точці можна записати так:


Застосування частинних похідних,


де Застосування частинних похідних – нескінченно малі функції приЗастосування частинних похідних.

Оскільки


Застосування частинних похідних


то


Застосування частинних похідних.


Перейшовши до границі приЗастосування частинних похідних, отримаємо формулу для обчислення похідної за напрямом

Застосування частинних похідних.(8)


З формули (З.8) випливає, що частинні похідні є окремими випадками похідної за напрямом. Дійсно, якщо Застосування частинних похідних збігається з одним із ортівЗастосування частинних похідних, Застосування частинних похідних або Застосування частинних похідних, то похідна за напрямом Застосування частинних похідних збігається з відповідною частинною похідною. Наприклад, якщоЗастосування частинних похідних, тоЗастосування частинних похідних, тому


Застосування частинних похідних.


Подібно до того як частинні похідні Застосування частинних похідних характеризують швидкість зміни функції в напрямі осей координат, так і похідна Застосування частинних похідних показує швидкість зміни скалярного поля Застосування частинних похідних в точці Застосування частинних похідних за напрямом вектораЗастосування частинних похідних.

Абсолютна величина похідної Застосування частинних похідних відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції Застосування частинних похідних в напрямі Застосування частинних похідних (зростання чи спадання).

Очевидно, що похідна за напрямомЗастосування частинних похідних, який протилежний напрямуЗастосування частинних похідних, дорівнює похідній за напрямомЗастосування частинних похідних, взятій з протилежним знаком.

Справді, при зміні напряму на протилежний кути Застосування частинних похідних зміняться на Застосування частинних похідних, тому

Застосування частинних похідних.


Фізичний зміст цього результату такий: зміна напряму на протилежний не впливає на значення швидкості зміни поля, а тільки на характер зміни поля. Якщо, наприклад, в напрямі Застосування частинних похідних поле зростає, то в напрямі Застосування частинних похідних воно спадає, і навпаки.

Якщо поле плоске, тобто задається функцією Застосування частинних похідних то напрям вектора Застосування частинних похідних цілком визначається кутом Застосування частинних похідних. Тому, поклавши у формулі (8) Застосування частинних похіднихтаЗастосування частинних похідних, отримаємо


Застосування частинних похідних.


Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції Застосування частинних похідних в точці Застосування частинних похідних називають градієнтом функції в цій точці і позначаютьЗастосування частинних похідних. Отже,


Застосування частинних похідних. (9)


Зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці за довільним напрямом показує така теорема.

Теорема. Похідна функції Застосування частинних похідних у точці Застосування частинних похідних за напрямом вектора Застосування частинних похідних дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на векторЗастосування частинних похідних, тобто

Застосування частинних похідних.(10)


Доведення

Нехай Застосування частинних похідних – кут між градієнтом (9) і одиничним вектором Застосування частинних похідних (рис. 4), тоді з властивостей скалярного добутку [1] отримаємо


Застосування частинних похідних


Зазначимо деякі властивості градієнта.

1. Похідна в даній точці за напрямом вектора Застосування частинних похідних має найбільше

значення, якщо напрям вектора Застосування частинних похідних збігається з напрямом градієнта, причому


Застосування частинних похідних.(11)


Справді, з формули (10) випливає, що похідна за напрямом досягає максимального значення (11), якщо Застосування частинних похідних, тобто якщо напрям вектора Застосування частинних похідних збігається з напрямом градієнта.

Застосування частинних похідних

Рисунок 4 – Зв'язок між градієнтом і похідною за напрямом


Таким чином, швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта. Зрозуміло, що у напрямі, протилежному до напряму градієнта, поле найшвидше зменшуватиметься.

2. Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до градієнта, дорівнює нулю. Інакше кажучи, швидкість зміни поля у напрямі, перпендикулярному до градієнта, дорівнює нулю, тобто скалярне поле залишається сталим.

Справді, за формулою (10)Застосування частинних похідних, якщоЗастосування частинних похідних.

Вектор-градієнт у кожній точці поля Застосування частинних похідних перпендикулярний до поверхні рівня, яка проходить через цю точку. Це твердження випливає з того, що напрямний вектор нормалі до поверхні рівняЗастосування частинних похідних, яка проходить через точку

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: