Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.
Кафедра “Системы и Процессы Управления”
“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”
Харьков 2001
ВВЕДЕНИЕ
Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .
Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .
Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .
Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :
(1.1)
тогда как :
А = 
(1.2)
где А заданная матрица размером N x N .
- вектор с N координатами , который подлежит определению ;
N – произвольное целое число ;
заданные вектора правых частей с N координатами .
С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..
2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
2.1. Метод прогноза и коррекции
Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .
Рассмотрим задачу Коши :
, 
(2.1.1)
Подставим в (2.1.1) точное
решение y(x) , и
проинтегрируем это уравнение на отрезке
, тогда получим :
(2.1.2)
где в последнем член предполагаем
, что p(x) полином ,
аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы
построить этот полином , предположим , что
- приближения к
решению в точках 
. Будем считать
для начала , что узлы Xi
расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi),
( i=k,k-1,k-2,…,k-N)
есть приближения к f (x,y(x)) в точках 
и мы в качестве P возьмем
интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,
( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу :
(2.1.3)
В простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :
(2.1.4)
Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки
(xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е.
(2.1.5)
интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод :
(2.1.6)
который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если N=2 , то P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой :
(2.1.7)
Отметим , что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка .
Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид :
Таким образом , подставляя начальные условия, мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .
Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом .
Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : [1],[2],[3] , мы мы приходим к формулам :
Прогноз :
(2.1.8)
Коррекция :
(2.1.9)
где h - шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге :
,
где в свою очередь 
- малое конкретное
значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N
а 
- малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг
соответственно уменьшается h=h/N
, где N - некоторое целое
число больше единицы .
Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула :
(2.1.10)
Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода .
Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,… . Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N
и построения интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi , (I=k+1,k,…,k-N) . При этом возникает класс методов , известных как методы Адамса-Моултона . Если N=0 , то p – линейная функция , проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1) , и соответствующий метод :
(2.1.11)
является методом
Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в
формуле (2.1.9) – коррекции
спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N=2
, то p – кубический полином , построенный по точкам 
и соответствующий
метод :
(2.1.12)
является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути fk+1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными .
Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка :
(2.1.13)
Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта
вычисляется значение
, являющееся
“прогнозом” . Затем 
используется для
вычисления приближенного значения 
, которое в свою
очередь используется в формуле Адамса-Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует
приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта .
Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :
где
A
= 
Заданная матрица размером NxN ; 
- вектор с N координатами , который подлежит определению . В связи с
тем , что связь между искомыми неизвестными
определяется матрицей коэффициентов A
, на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно
неизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом
Гаусса , который описан в разделе 2.2 .
Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13) , [2] , [3] .
2.2 Модифицированный метод Гаусса
Как типичный пример решения систем линейных дифференциальных уравнений , рассмотрим систему четырех линейных алгебраических уравнений .
Для решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо
Составить систему : 
(2.2.1)
1) Каждое уравнение делиться на коэффициент при X1
2) Теперь образуем нули в первом столбце матрицы системы : вычитаем 2-ое
из 1-ого , 3-е из 2-ого , 4-ое из 3-его :
(2.2.2)
3) Повторив еще раз эти операции получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , решение которой можно получить по формулам Крамера :
(2.2.3)
Решение же X1 и X2 можно получить , подставив в какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и разрешив эти уравнения относительно соответствующей переменной .
3. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА
Программа начинается с вывода сообщения о программе . После происходит считывание необходимых исходных данных из файла , для дальнейшей работоспособности алгоритма , а именно – начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода , начального шага интегрирования , левого и правого условий Рунге , время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции , время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .
С помощью метода Эйлера находим дополнительные начальные условия. Решение систем линейных дифференциальных уравнений мы описываем отдельной процедурой , что облегчает дальнейшую алгоритмизацию .
Далее составляем цикл , для реализации алгоритма нахождения всех Yk+1 точек на заданном малом промежутке времени , и проверкой на условия Рунге , по трех шаговому методу прогноза и коррекции с авто подбором шага . После чего мы организовываем цикл , реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота , на заданном большом промежутке времени и с шагом автоматически подобранным предыдущим методом .
Вычисленные данные записываем файл , по ним формируем массив данных , которые выводим в сответствии с масштабированием на экран в виде графиков .
Блок-схема приведена в Приложении 1 .
4.ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Программа реализующая универсальный алгоритм для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида , - построена по принципам объектно-ориентированного программирования .Основная программа построена на объектной библиотеке VFH , реализующей возможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем .
Основная программа включает в себя только один модуль PACM , и использует всего два метода объекта TApplPandC , - метод Application - рабочий цикл программы ; деструктор Done – реализует разрушение таблицы виртуальных методов , и операций , связанных с завершением программы .
Модуль PACM включает в себя модули библиотек - реализующих построение интерфейса . Модуль реализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта , и по вычесленным данным строящий график , есть – PACMBtn .
Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject . Основным рабочим объектом библиотеки VFH есть объект Tform