Xreferat.com » Рефераты по математике » Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)


Прізвище,ім’я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна


Київ 2008 рiк.

Завдання 1


Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (*)


Розв’язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. (1)


Введемо позначення:


А≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - матриця системи,

Х ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з невідомих членів,

В ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з вільних членів.


1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Знайдемо обернену матрицю до даної:


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

де А11= (-1) 2·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=10-24=-14,А12= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-6+6) =0,А13= (-

1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-12+5=-7,А21= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4

·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-6-1=-7,А23= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-

6+5=-1,А32= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-15-3=-18.

det A = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 30-6-12+5+6-72=-49.


Тому


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:


X = - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=

=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тобто х1=1,х2=1,х3=1.

2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (2)


Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (3)


З рівняння (3) маємо:


х2= 1,х2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 1,х3 = 5-3·1-1=1.


Відповідь. дана система в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


її розв’язок (1; 1;1).


Завдання 2


Показати, що перші три вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (2,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,1,1), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = (5,7,10)


Розв’язання.

Для того, щоб вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+β Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+γ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,за умови, що α = β = γ = 0.


Тобто


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+β Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+γ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,


або


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тоді, система:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:


А = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса0.


Отже, вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса є їх лінійною комбінацією:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = b1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + b2 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ b3 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:


b1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

b2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

b3 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= detРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.


Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.

Отримали вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Відповідь. вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Завдання 3


Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.

A (0;

2), B (2;

3), С (1;

3).

Розв’язання.

рівняння АВ:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;

рівняння АС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;

рівняння ВС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої ВС: у = 3.

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - нормальний вектор прямої ВС, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;

2) -


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=0


х = 0 - рівняння прямої АК.

3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:


∟A = ∟BAK - ∟CAK,

де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

тому ∟ A = arctg 2 - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2

Похожие рефераты:

  • Узагальнена функція Гріна

    Випадок однорідної крайової задачі. Розв’язання виродженого крайового виразу. Теорема Коші, іі доведення. Означення узагальненої функції Гріна крайової задачі. Формулювання алгоритму відшукання узагальненої функції Гріна. Приклади роз'язання завдань.

  • Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

    Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

  • Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

    Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.

  • Розв'язок задачі лінійного програмування

    Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.

  • Різницевий метод розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

    Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.

  • Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

    Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.

  • Особливі точки рівняння

    Поняття особливої точки системи або рівняння. Пошук розв’язку характеристичного рівняння. Стійкий та нестійкий вузли, типові траєкторії. Дослідження особливої точки рівняння, способи побудови інтегральних кривих. Власний вектор матриці коефіцієнтів.

  • Застосування програмних засобів GRAN1 та GRAN-2D на уроках алгебри

    Виявлення можливості практичного застосування програмних засобів і комп’ютерних презентацій на уроках математики в ході побудови графіків функцій, що містять змінну під знаком модуля. Особливості застосування програм GRAN1 і GRAN-2D, розроблених Жалдаком.

  • Застосування координатного методу в стереометрії

    Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.

  • Обчислення матричних задач

    Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.

  • Визначення емпіричних закономірностей

    Метод найменших квадратів. Задача про пошуки параметрів. Означення метода найменших квадратів. Визначення параметрів функціональних залежностей. Вид нормальної системи Гауса. Побудова математичної моделі, використовуючи метод найменших квадратів.

  • Диференціальні рівняння вищих порядків

    Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.

  • Системи лінійних рівнянь

    Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.

  • Будування математичної моделі економічної задачі і розв'язання її за допомогою графічного метода, методів Жордана-Гаусса, потенціалу та симплекс-метода

    Розв'язання системи лінійних рівнянь методом повного виключення змінних (метод Гаусса) з використанням розрахункових таблиць. Будування математичної моделі задачі лінійного програмування. Умови для застосування симплекс-методу. Розв'язка спряженої задачі.

  • Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці

    Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.

  • Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь

    Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.

  • Рішення лінійних рівнянь першого порядку

    Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.

  • Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування

    Складання плану виробництва при максимальному прибутку. Введення додаткових (фіктивних) змінних, які перетворюють нерівності на рівності. Розв’язування задачі лінійного програмування графічним методом та економічна інтерпретація отриманого розв’язку.

  • Елементи інформаційних технологій в математичному програмуванні

    Розв'язання завдання графічним способом. Зображення розв'язку системи нерівностей, визначення досягнення максимуму та мінімуму функції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів та симплекс-методом, формування оціночної матриці з елементів.

  • Розв'язання задач графічним методом, методом потенціалів, методом множників Лангранжа та симплекс-методом

    Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.