Xreferat.com » Рефераты по математике » Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)


Прізвище,ім’я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна


Київ 2008 рiк.

Завдання 1


Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (*)


Розв’язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. (1)


Введемо позначення:


А≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - матриця системи,

Х ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з невідомих членів,

В ≡ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса - вектор-стовпець з вільних членів.


1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Знайдемо обернену матрицю до даної:


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

де А11= (-1) 2·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=10-24=-14,А12= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-6+6) =0,А13= (-

1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-12+5=-7,А21= (-1) 3·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4

·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-6-1=-7,А23= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-

6+5=-1,А32= (-1) 5·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-15-3=-18.

det A = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 30-6-12+5+6-72=-49.


Тому


A-1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:


X = - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса·Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=

=-Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тобто х1=1,х2=1,х3=1.

2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (2)


Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (3)


З рівняння (3) маємо:


х2= 1,х2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 1,х3 = 5-3·1-1=1.


Відповідь. дана система в матричній формі:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


її розв’язок (1; 1;1).


Завдання 2


Показати, що перші три вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (2,2,3), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= (1,1,1), Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = (5,7,10)


Розв’язання.

Для того, щоб вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,за умови, що α = β = γ = 0.


Тобто


α Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом ГаусаРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 0,


або


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Тоді, система:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:


А = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса0.


Отже, вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса є їх лінійною комбінацією:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = b1Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + b2 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ b3 Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса. Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса


Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:


b1 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

b2 =Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

b3 = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= detРозв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса= det Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.


Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.

Отримали вектор Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса у базисі Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.

Відповідь. вектори Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса утворюють базис тривимірного векторного простору, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса = 2Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса + Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса+ Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


Завдання 3


Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.

A (0;

2), B (2;

3), С (1;

3).

Розв’язання.

рівняння АВ:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;

рівняння АС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;

рівняння ВС:


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,


звідси рівняння прямої ВС: у = 3.

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - нормальний вектор прямої ВС, Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса (0;

1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;

2) -


Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса=0


х = 0 - рівняння прямої АК.

3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:


∟A = ∟BAK - ∟CAK,

де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса,

тому ∟ A = arctg 2 - Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса.


4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: