Xreferat.com » Рефераты по математике » Численные методы

Численные методы

ЛЕКЦИЯ № 12


ТИПОВЫЕСПОСОБЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МНК НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНЫЕ


Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер, поэтому область, использования линейных моделей весьма ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Рассмотрим некоторое преобразование, позволяющее при построении нелинейными функциями воспользоваться методом МНК для линейной функции.


Аппроксимируемая Линейная Замена

функция функция

Численные методы Численные методыЧисленные методы Численные методы


Вообще полиномы выше 6-ой степени при помощи МНК никогда не строят, т.к. появляются серьёзные ошибки округлений и раскачивания. На практике ограничиваются квадратической зависимостью.


МНК для системы линейно- независимых функций.

Пусть задана система линейно-независимых функций одной переменной Численные методы. Под линейно-независимой функцией понимаем такую систему, в которой ни одна из функций не может быть представлена в виде линейной комбинации остальных функций.

Задана f(x) таблично на [a;b] по системе узлов xj ,yj=f(xj)

Рассмотрим приближение f(x) при помощи обобщенного многочлена:

Численные методы (12.1)

Необходимо найти неизвестные коэффициенты из (12.1)

Численные методы (12.2)

Критерий (12.2) представляет собой квадратичную функцию относительно параметров bi.


Запишем

Численные методы (12.3)

Получим

Численные методы (12.4)

Система (12.4) представляет собой СЛАУ относительно параметров bi и может быть решена одним из известных методов.

Рассмотрим один из частных случаев этой системы, когда функции Численные методы являются ортогональными.

Введем понятие скалярного произведения функции.

Численные методы (12.5)

Линейно-независимая система функций Численные методы является ортогональной если

Численные методы

Для системы ортогональных функций решение системы (12.4) получается элементарно.

Численные методы (12.6)

Коэффициенты (12.6) называются коэффициентами Фурье, а многочлен (12.1) называется обобщенным многочленом Фурье.


Тригонометрические ряды и полиномы Фурье в использовании МНК

Для приближения тригонометрических функций в анализе используют тригонометрические ряды Фурье.

Периодической называется функция, для которой выполняется равенство:

f(x+KP)=f(x)

P-наименьший положительный период.

Пусть g(x) имеет P, тогда f(x)=g(Px/2π) будет иметь период 2π.

Пусть f(x) –функция, имеющая период 2π, тогда она может быть представлена рядом:

Численные методы (12.7)

Численные методы (12.8)


(12.8) тригонометрический ряд Фурье.

Численные методы (12.9)

Коэффициенты Фурье могут быть получены также методом МНК для системы ортогональных линейно-независимых функций.

Пусть значения таблично-заданной функции известны в точках

Численные методы

Тригонометрические полиномы используются для тригонометрических процессов.

ЛЕКЦИЯ №13


ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФИРИНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ


Численное дифференцирование

Расчет производных аналитически заданной функции

Нахождение производных таблично заданной функции

Численное интегрирование

2.1 Формулы прямоугольников

2.2 Формулы Ньютона - Котеса

Формулы Симпсона и Ньютона

Формулы Чебышева и Гаусса


Численное дифференцирование применяется в случаях, когда аналитическое нахождение производных приводит к громоздким вычислениям, (особенно при необходимости иметь одинаковый алгоритм для вычисления производных заданных функций, а также тогда, когда функция задана таблично).

§1.1 Для аналитически заданных функций рассмотрим следующие способы численного дифференцирования:

предел отношения приращений;

при помощи центрированных разностях;


Предел отношения приращений

Численные методы


Строим последовательности {hk}так, чтобы hk→0 вычисляем предел последовательности {Dk}, где


Dk= Численные методы k=1,2..n


Вычисления проводят до некоторого n, при котором выполняется условие:


|Dn+1-Dn|≥|Dn-Dn-1|

Шаг выбираем сами (обосновать).


Центрированные разности


Пусть наша функция трижды непрерывно дифференцируема на [a;b]:

fЧисленные методыc3[a;b] x-h, h, xЧисленные методы[a;b]

тогда Численные методы

Эта приближенная формула имеет 2-ой порядок точности.

Ошибка: 0(h2). Разложим функцию в ряд Тейлора:


Численные методы


Численные методы


Вычтем из первого равенства второе:

f(x+h)-f(x-h)

ЛЕКЦИЯ №14


В случае, когда нельзя выразить , либо функция задана таблично , нахождение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно.

Используют приближенные формулы, которые называют квадратурными, либо формулами численного интегрирования.

Формулы прямоугольника

Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b]. Требуется вычислить Численные методы .

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей, точками xi, i=0,n

Численные методы

xi=a-i*h

Численные методы шаг разбиения


На отрезке [xi-1;xi] возьмем произвольную точку xi . Из определения наш интеграл равен Численные методы (14.1)

общая форма прямоугольника.

Численные методыГеометрическая интерпритация формулы прямоугольника.


Площадь ограничена графиком функции y=f(x) на отрезке осью абцис и заменяется площадью прямоугольника с высотой равной f(xi). Отметим частный случай формулы прямоугольника.

Пусть xi это xi. Из формулы 14.1 видно Численные методы.

Точность 0(h) порядка один. Формула левых прямоугольников

Численные методы2) xi=xi. Численные методы формула правых прямоугольников 0(h).


Численные методы

3) xi=1/2 (xi-1+ xi). Получилась формула средних прямоугольников. Численные методы. Точность порядка два 0(h2).

2)Формула Ньютона-Котеса

Численные методы-общая формула

Численные методы

Н-коэффициент Котеса.

xk=a+b*h k=0,n

Пусть n=1 значит Численные методыЧисленные методы

Пусть n=2 значит Численные методыЧисленные методы

Применение формулы Ньютона-Котеса высоких порядков может быть оправдана при достаточно высокой гладкости подинтегральной функции, поэтому промежуток интегрирования будем дробить на мелкие части, на каждой из которых можно применить формулу Н-К невысокого порядка. Выведем формулу трапеции Симсона-Ньютона.

Численные методы

Численные методыyi=f(xi), i=0,n. Точность порядка два 0(h2). Эта формула точна для многочленов первой степени.

Геометрическая интерпритация

На элементарном отрезке [xi-1;xi] площадь под кривой полагают равной площади трапеции с основаниями yi-1 и yi и высотой h. h= xi-xi-1


Формула Симсона

Численные методыПусть n=2m. Число разбиения отрезков четное. Тогда Численные методыточна для многочлена в третьей степени.

Геометрическая интерпритация

На отрезке [x2i-2;x2i] длиной 2h

Cтроится парабола, проходящая через три точки. Площадь под параболой, заключення между осью абцисс и прямыми x2i-2 и x2i и принимает равный интеграл.


Формула Ньютона – это формула Симсона 3/8.

Пусть n=3m. Количество отрезков разбиения нечетное.

Численные методыточна для полиномов третьей степени.

Формула Чебышева- Гаусса

Квадратуры Гаусса используют, если интегрируемая функция задана аналитически. Подинтегральную функцию апроксимируют полиномами различных степеней. Общий вид линейно-квадративной формулы Численные методы, где Ai- весовые функции.

Формула Гаусса: Численные методыточна для многочленов N=2n-1 степени. Ai и ti вычислены и табулированы

Численные методы

Формула Чебышева:Численные методы точна для многочлена степени n.

Точки ti вычислены и табулированы для n=2,3…7,9. Для n=8 и больше 10 ti не сушествуют.

n=2 -ti=t2=0.577350

n=3 -ti=t3=0.707107 t2=0

n=4 -ti=t4=0.794654 -t2=t3=0.187592

Для вычисления интеграла по формулам 4 и 5 следует сделать замену переменных Численные методы

Тогда наш интеграл равен Численные методы

Замечание: правило Рунге используется для оценки погрешности.

Вычисляют интеграл по выбранной квадративной формуледважды, сначала с шагом h, затем h/2. Затем ,если полученное значение >e, то полагают, что наш интеграл равен I=I2n ,иначе шаг h/4.

|In-I2n|<e

ЛЕКЦИЯ № 16


МЕТОД РУНГЕ-КУТТА (четвертого порядка)


Пусть поставлена задача Коши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x0,b], xk=x0+k*h, k=0,n; h=(b-x0)/n.

Численные методы (16.1)


Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке xk+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках xk-1 , xk-2….общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все m –шаговые методы можно описать формулами:

Численные методы 16.2

При b0=0 мы получаем явные методы, при b№0 – неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на " шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у(х0)-определяется из условия задачи Коши

у(х1),у(х2),у(х3)…у(хm-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x0,b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x0,b] в т.xk

[x0,b] xk=x0+k*h k=0,n; h=(b-x0)/n

Численные методы 16.3

Локальная точность

Известно, что на " шаге точное значение функции в т.хк у̃(хк) отличается от приближенного значения хк на величину.

Численные методы 16.4

Численные методы 16.5

Численные методы где ε заданная точность

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из

Похожие рефераты: