Система линейных уравнений

Содержание

Введение

1. Основные понятия

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a11x1 + … + a1n xn = b1;

a21x1 + … + a2n x n = b2;

………………………………

am1x1+ … + amnxn = bm.

Здесь x1, …, xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (1)

……………………………………

am1x1+ am2x2 + …+ amnxn = bm;

где х1, х2, …, хn - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, …, bm - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены bi (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α1, α2, αn, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;

a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (2)

……………………………………

an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn;

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов аij.

a11 a12 … a1n

∆ = a21 a22 … a2n

…………………………

an1 an2 … ann

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А1i, второе – на А2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на Аni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi +

+ …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni

или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим

(a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … +

+ (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + … +

+ (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn =

= b1A1i + b2A2i + …+ bnAni. (3)

Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (2). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆xi, будем иметь

a11 a12 … b1 … a1n

∆xi = a21 a22 … b2 … a2n. (3)

………………………………

an1 an2 … bn … ann

Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

∆х =∆xi,

откуда при ∆ ≠ 0

х = ——

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х1 = ——;

х2 = ——;

(4)

………………

хn = ——.

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) – формулами Крамера.

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = 0;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = 0; (5)

…………………………………

аn1х1 + аn2х2 + …+ аnnхn = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х1 = 0, х2 = 0,..., хп = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все Dxi = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (bi = 0). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид

Dx1= 0, Dx2=0;...,Dxn= 0

Из этой системы следует, что однородная система (5) имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же D = 0, то из условий (3) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: D, Dx1, Dx2, …,Dxn. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2; (6)

. ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm

Требуется найти все решения системы уравнений (6). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида

0х1 + 0х2 + …+ 0хn = 0 (7)

и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число l.

Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (6) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (6) будем подвергать еще одному виду преобразований – перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k -м) неизвестная x1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде

akix1 +... + ak2x2 + … + ak1xi+... + aknxn = bk,

т. е. вместо прежней неизвестной хi мы будем писать х1, а вместо x1 – хi Метод Гаусса решения системы (6) заключается в последовательном исключении переменных.

Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида

0xl + 0x2+... + 0xn= b, (8)

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х1, х2..., хп не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.

Пусть теперь система (6) не содержит уравнений вида (7) или (8). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a110 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (6), начиная со второго, неизвестную х1. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a21/a11, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a31/a11, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn = b1;

а′22х2 + …+ а′2nхn = b′2;

………………………… (9)

а′m2х2 + …+ а′mnхn = b′m

Заметим, что в системе (9) число уравнений может быть и меньше m, так как среди них могут оказаться уравнения вида (7), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.

Пусть а22 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п – 2 уравнений системы (9) неизвестную х2 путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a′32/a′22, из четвертого уравнения — второго, умноженного на a′34/a′22 и т. д. В результате получим систему

а11х1 + а12х2 + а13х3 + …+ а1nхn = b1;

а′22х2 + а′23х3 + …+ а′2nхn = b′2;

а′′33х3 + …+ а″3хn = b″3;

……………………………

а″m3х3 +…+а″mnхn = b″m

.

Продолжая этот процесс, систему (6) приведем к равносильной системе вида

c11х1 + c12х2 + c13х3 + …+ c1kхk + …+ c1nхn = d1;

c22х2 + c23х3 + …+ c2kхk + …+ c2nхn = d2;

c33х3 + …+ c3kхk + …+ c3nхn = d3; (10)

………………………………………

ckkхk + …+cknхn = dk.

в которой коэффициенты c11, c22,..., ckk отличны от нуля.

Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (8). В этом случае система (7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (8). Тогда для решения системы (6) необходимо решить систему (9), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.

1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (10) имеет вид сппхп = dn, откуда хп = dn /cnn. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (7), имеющее вид

cn-1n-1xn-1 + cn-1nxn= dn-1, найдем значение неизвестной xn-1 и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x1 Таким образом, в случае k = п система уравнений (6) имеет единственное решение.

2. k < n. Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную xk, выраженную через неизвестные хk+1, хk+2,... xn:

xk = (dkk – ck k+1xk+1 – … – cknxn)

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной хk-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных хk, хk-1,... x2 в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x1. В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду

x1 = d′1 + c′1 k+1xk+1 + …+ c′1nxn;

x2 = d′2 + c′2 k+1xk+1 + …+ c′2nxn; (11)

………………………………………

xk = d′k + c′k k+1 xk+1 + …+ cknxn.

Неизвестные хk+1, хk+2, …, хп называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х1, х2, …, хk. Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x1 – 2x2 + x3 + x4 = –1;

3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;

2x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 9;

x1 + 3x2 – 3x3 – x4 = –1.

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

……………………

am1 am2 … amn

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a11 a12 … a1n b1

B = a21 a22 … a2n b2

……………………… …… (13)

am1 am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c1, c2,..., сп – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

. ……………………………………

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz,..., сп — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn;

b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn;

. …………………………………

bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn

где c1, c2,..., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x1 = c1,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

Пример 1. Рассмотрим систему

5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7;

2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1;

x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a1x + b1y = c1,

a2x + b2y = c2. (13)

Основная матрица этой системы

a1 b1

a2 b2

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a1 b1 с1

a2 b2 с2

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

Если r = 0, R = 1, т.е. a1 = a2 = b1 = b2 = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений.

Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a1x + b1y – c1 = 0,

a2x + b2y – c2 = 0, (14)

где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0.

a2 b2 c2 b2 a2 c2

Эти условия можно переписать так:

a1b2 = b1a2, (15)

c1b2 = b1c2, (16)

a1c2 = c1a2. (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а1 = 0, то b1 ≠ 0, так как a1 + b1 ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ≠ 0, то b2 ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c1/b1 = c2/b2 = α и при этом уравнения прямых примут вид

b1(y – α) = 0, b2(y – α) = 0. Поскольку b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b1 = 0, то а1 ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b2 = 0(причем

а2 ≠ 0). Тогда из (17) имеем c1/a1 = c2/a2 = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x – β) = 0, а2(x – β) = 0. Поскольку

а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а1 ≠ 0 и b1 ≠ 0, то из (15) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = γ, а из (16) и (17) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что

а2 = γа1, b2 = γb1, c2 = γc1, и поэтому уравнения прямых примут вид

a1x + b1y – c1 = 0, γ(a1x + b1y – c1)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают.

Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного.

1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = R = 2.

2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими.

Следовательно, r = 1, R = 2.

3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны.

Следовательно, r = R = 1.

Заключение

В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Список литературы

А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко.

Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер.

Математический энциклопедический словарь.

Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева.

Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский