Геометрия

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть -плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а1 - прямая в плоскости ,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость 1 ч/з

прямые а и а1.

Она отлична от ,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости . Плоскости и 1 пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые а и а1 параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.


2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H


БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.


Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями и по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.


Sп.п.=2R(H+R)


БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.


Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости и пересекаются с плоскостью . Докажем, что а b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. и имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.  . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а b.


2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H


БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости и . В

плоскости лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в -

- прямые а1 и b1,

причем а а1 и b b1.

Докажем, что плоскос.

-ти и не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что

а с.

Но плоскость проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая с.

Значит, наше допущение неверно и  . Ч.Т.Д.


- - - - - - - -


БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость , а ч/з М в

в плоскости прямую

b a. Докажем, что b a

единственна.


Допустим, что существует другая прямая b2 a, и

проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести

плоскость 2, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с . По аксиоме о параллельных

прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.


2. Vус.кон.=1/3*H(R12+R1R2+R22)


БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.


А2 Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.


А3 Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.


2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A



















БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

10 Проекция прямой есть прямая.


20 Проекция отрезка есть отрезок.

30 Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.


Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.


- - - - - - - - - - - -



БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Похожие рефераты: