Геометрия
Из прямоугольного
треугольника ACC1
по теореме Пифагора получаем AC12=AC2+CC12.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того, CC1=AA1.
След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то ABDC и AA1DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.
следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.
равны двум смежным сторонам у м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны
БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Док-во: Рассмотрим конус
с объемом V. Произвольн.
сечение конуса плоскостью
перпендикулярной к оси Ox,
является кругом с центром
в т.M1 пересечения этой
плоскости с осью Ox.
Обозначим радиус этого
круга ч/з R1, а площадь
сечения ч/з S(x), где x-
- абсцисса точки M1. Из
подобия прямоугольных
треугольников OM1A1 и OMA следует, что
OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.
Так как S(x)=R12, то S(x)=R2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:
Площадь S основания конуса равна R2, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.
Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула Sбок=2rh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму
ABCA1B1C1 с объемом V и
высотой h. Проведем такую
высоту треугольника ABC
отрез.BD, которая разделяет
этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB1D разделяет
данную призму на две приз.,
основаниями которых явл.
прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм соответственно равны
Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=
=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch
2) Докажем теорему для произвольной
призмы с высотой h и площ.
основания S. Такую призму
можно разбить на прямые
треуг. призмы с высотой h.
Выразим объем каждой приз.
по формуле (1) и сложим эти
объемы. Вынося за скобки
множитель h, получим в
скобках сумму площадей
оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -