Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр

Размещено на /

Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью

«Шаги в науку»

Научное общество учащихся «Поиск»

Муниципального образовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»

Научное направление: «Математика»


Уравнения, содержащие параметр


Соколова Александра Михайловна

ученица 10 класса МОУ

«СОШ №86 г.Омска»

Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,

учитель математики


Омск 2011

Содержание


Введение

1. Знакомство с параметрами

1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

1.2 Решение линейных уравнений с модулем

1.3 Решение квадратных уравнений

2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С

Заключение


Введение


В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.

Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.

Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.

2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.

3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.

В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:

1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

2) решение линейных уравнений с модулем;

3) решение квадратных уравнений.


уравнение параметр неизвестное модуль

1. Знакомство с параметрами


Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым. Уравнения, содержащие параметр

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения Уравнения, содержащие параметр переходят к у равнению Уравнения, содержащие параметр; при m=Уравнения, содержащие параметрзаписывают единственное решение Уравнения, содержащие параметр. Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.

Пример 1. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр.

Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:

a=1, тогда уравнение принимает вид Уравнения, содержащие параметр и не имеет решений;

при а=-1 получаем Уравнения, содержащие параметри, очевидно, х любое;

при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Пример 2. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр

Очевидно, что Уравнения, содержащие параметр, а Уравнения, содержащие параметр, то есть х=b/2, но Уравнения, содержащие параметр, то есть 2Уравнения, содержащие параметрb/2, bУравнения, содержащие параметр4.

Ответ: при bУравнения, содержащие параметр4 х=b/2; при b=4 нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение Уравнения, содержащие параметр имеет единственное решение?

Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же аУравнения, содержащие параметр2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, а=1, а=6.

Ответ: при а=2, а=1, а=6.


1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным


Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметрПри Уравнения, содержащие параметр уравнение имеет единственное решение Уравнения, содержащие параметр, которое будет: положительным, если Уравнения, содержащие параметр или Уравнения, содержащие параметр; нулевым, если Уравнения, содержащие параметр; отрицательным, если Уравнения, содержащие параметр или Уравнения, содержащие параметр.

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при bУравнения, содержащие параметр0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение Уравнения, содержащие параметр; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при хУравнения, содержащие параметр-1 и хУравнения, содержащие параметр0 сводится к таковому: Уравнения, содержащие параметр или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (хУравнения, содержащие параметр-1 и хУравнения, содержащие параметр0), выявим теперь допустимые значения параметра а:


а-1-х=0 Уравнения, содержащие параметр а=х+1


Из этого видно, что при хУравнения, содержащие параметр0 аУравнения, содержащие параметр1, а при хУравнения, содержащие параметр-1 аУравнения, содержащие параметр0.

Таким образом, при аУравнения, содержащие параметр1 и аУравнения, содержащие параметр0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а<0 х=а-1; при Уравнения, содержащие параметр решений нет, а при a>1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение Уравнения, содержащие параметр (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр.

Приведём уравнение к простейшему виду:

9х-3k=kx-12

(9 – k)x =3k-12 (2)


Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) Уравнения, содержащие параметр, получим:


Уравнения, содержащие параметр.


Если подставим Уравнения, содержащие параметр, то получим так же Уравнения, содержащие параметр.

Таким образом, при Уравнения, содержащие параметр уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. Уравнения, содержащие параметр - это недопустимые значения параметра k для (1). При Уравнения, содержащие параметр мы можем решать только уравнение (2).

Если Уравнения, содержащие параметр, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение Уравнения, содержащие параметр, которое будет:

а) положительным, если Уравнения, содержащие параметр, при 4<k<9, с учётом Уравнения, содержащие параметр: Уравнения, содержащие параметр;

б) нулевым, если Уравнения, содержащие параметр;

в) отрицательным, если Уравнения, содержащие параметр и k>9 с учётом


Уравнения, содержащие параметр, получаем Уравнения, содержащие параметр.


Если Уравнения, содержащие параметр, то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) Уравнения, содержащие параметр при Уравнения, содержащие параметр и Уравнения, содержащие параметр, причём х>0 для Уравнения, содержащие параметр; x=0 при k=4; x<0 при Уравнения, содержащие параметр;

б) при Уравнения, содержащие параметруравнение не имеет решений.

1.2 Решение линейных уравнений с модулем


Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|Уравнения, содержащие параметр, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:


aУравнения, содержащие параметр;

4Уравнения, содержащие параметр.


1. Первый интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр;


Второй интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр, т.е. если а<4, то Уравнения, содержащие параметр.


Третий интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр а=4, т.е. если а=4, то Уравнения, содержащие параметр.


2. Первый интервал:

Уравнения, содержащие параметр

Уравнения, содержащие параметр а=4, Уравнения, содержащие параметр.


Уравнения, содержащие параметрВторой интервал:


Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр a>4,т.е. если 4<а, то Уравнения, содержащие параметр


Третий интервал:


Уравнения, содержащие параметрУравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 Уравнения, содержащие параметр.

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) Уравнения, содержащие параметр, 2) Уравнения, содержащие параметр, 3) Уравнения, содержащие параметр и решим исходное уравнение на каждом промежутке.


1. Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр.


При а=1 уравнение не имеет решений, но при аУравнения, содержащие параметр1 уравнение имеет корень Уравнения, содержащие параметр. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр, Уравнения, содержащие параметр. Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень Уравнения, содержащие параметр при Уравнения, содержащие параметр, а на остальных а корней не имеет.


2. Уравнения, содержащие параметр. Уравнения, содержащие параметр.


При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке Уравнения, содержащие параметр. Если аУравнения, содержащие параметр1, то уравнение имеет один корень х=1.


3. Уравнения, содержащие параметр. Уравнения, содержащие параметр.


При а=1 решением является любое число, но мы решаем на Уравнения, содержащие параметр. Если аУравнения, содержащие параметр1, то х=1.

Ответ: при Уравнения, содержащие параметр Уравнения, содержащие параметр; при а= – 1 Уравнения, содержащие параметр

Похожие рефераты: