Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Курсовая работа студента гр. МТ-31 Нургалиев А.

Инновационный евразийский университет

Павлодар 2007 год.

1. Введение.

Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.

Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.

Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.

2. Метод распространяющихся волн.

2.1. Вывод уравнения колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.

Рассмотрим элемент струны MM’.

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью 0x углы Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Так как угол Дифференциальные уравнения гиперболического типа мал, то можно положить Дифференциальные уравнения гиперболического типа, и мы будем иметь:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Ускорение элемента равно Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Сокращая на Дифференциальные уравнения гиперболического типа и обозначая Дифференциальные уравнения гиперболического типа, получаем уравнение движения

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

2.2. Формула Даламбера.

Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (2)

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (3)

Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

распадается на два уравнения:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа, Дифференциальные уравнения гиперболического типа,

интегралами которых являются прямые

Дифференциальные уравнения гиперболического типа, Дифференциальные уравнения гиперболического типа.

Вводя новые переменные

Дифференциальные уравнения гиперболического типа, Дифференциальные уравнения гиперболического типа,

уравнение колебания струны преобразуем к виду:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа. (4)

Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)

Дифференциальные уравнения гиперболического типа,

где Дифференциальные уравнения гиперболического типа - некоторая функция только переменного Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Интегрируя это равенство по Дифференциальные уравнения гиперболического типа при фиксированном Дифференциальные уравнения гиперболического типа, получим

Дифференциальные уравнения гиперболического типа, (5)

где Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа являются функциями только переменных Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа.Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа, определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (6)

является общим интегралом уравнения (2).

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (7)

Дифференциальные уравнения гиперболического типа. (8)

Интегрируя второе равенство, получим:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

где Дифференциальные уравнения гиперболического типа и C – постоянные. Из равенства

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

находим:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (9)

Таким образом, мы определили функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа через заданные функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, получим:

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

или

Дифференциальные уравнения гиперболического типа, (10)

Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.

Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа и однократной дифференцируемости функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.

2.2.2.Физический интерпретация.

Функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа, определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать Дифференциальные уравнения гиперболического типа, то функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа дает профиль струны в момент Дифференциальные уравнения гиперболического типа, фиксируя Дифференциальные уравнения гиперболического типа, получим функцию Дифференциальные уравнения гиперболического типа, дающую процесс движения точки Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая Дифференциальные уравнения гиперболического типа, Дифференциальные уравнения гиперболического типа. В этой подвижной системе координат функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа  будет определятся формулой Дифференциальные уравнения гиперболического типа и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн Дифференциальные уравнения гиперболического типа, одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом

Дифференциальные уравнения гиперболического типа,

где Дифференциальные уравнения гиперболического типа.

Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=const и x+at=const являются характеристиками уравнения (2). Функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа постоянна вдоль характеристики x+at=const.

Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале Дифференциальные уравнения гиперболического типа и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа через точки Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).

Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Функция Дифференциальные уравнения гиперболического типа отлична от нуля только в области II, где Дифференциальные уравнения гиперболического типа и характеристики Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.

Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку Дифференциальные уравнения гиперболического типа и приведем из нее обе характеристики Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, которые пересекут ось x в точках Дифференциальные уравнения гиперболического типа, t=0 и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, t=0. Значение функции Дифференциальные уравнения гиперболического типа в точке Дифференциальные уравнения гиперболического типа равно Дифференциальные уравнения гиперболического типа, т. е. определяется значениями функций Дифференциальные уравнения гиперболического типаДифференциальные уравнения гиперболического типаи Дифференциальные уравнения гиперболического типа в точках Дифференциальные уравнения гиперболического типа и Дифференциальные уравнения гиперболического типа, являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Из формулы (10) видно, что отклонение Дифференциальные уравнения гиперболического типа точки струны в момент Дифференциальные уравнения гиперболического типа зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-at0,0) и Q(x0+at0,0) характеристического треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (11)

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения Дифференциальные уравнения гиперболического типа в точке Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке Дифференциальные уравнения гиперболического типа, то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок Дифференциальные уравнения гиперболического типа.

2.2.3. Пример.

Решение (10) можно представить в виде суммы Дифференциальные уравнения гиперболического типа, где

Дифференциальные уравнения гиперболического типа (12)

Дифференциальные уравнения гиперболического типа. (13)

Если начальная скорость равна нулю (Дифференциальные уравнения гиперболического типа), то отклонение Дифференциальные уравнения гиперболического типа есть

Похожие рефераты: