Дзета-функция Римана

Курсовая работа

Выполнил студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X  может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции  и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

 Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

                                                                                                      (1)

если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.

Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R+{0}. В этом случае  и ряд (1) обращается в ряд , который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию , где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

01. Перепишем ряд (1) в виде . Как было выше показано, ряд  сходится, а функции  при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ζ(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

                                                                                                 (2).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке  и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде  для s>s0. Множители , начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между  и , где , а ; к промежутку  применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

.

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем . При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .

Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.

 Во-первых, известно, что если для ряда  существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда  оценивается   так: , где .  Применяя  вышесказанное   к   ряду   (1),   найдём,  что   необходимая  функция

, а  и . Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

                                                            (3). В левом неравенстве положим n=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n=1 и получим , далее ,  и, наконец, . Переходя в неравенствах  к пределу при , находим .

Отсюда, в частности, следует, что . Действительно, положим . Тогда , то есть  . Поэтому . Из того, что , а , вытекает доказываемое утверждение.  

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства . Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму  и вычтем . Имеем . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить  и . Мы пока не знаем, существует ли предел выражения  при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так:

. Ввиду произвольности n возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C0,577). Значит , а, следовательно, существует и обычный предел и .

 Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение , где  - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое  в левую часть равенства. Слева получаем  cth, а в правой части - , то есть cth. Заменяем  на , получаем cth.

С другой стороны, существует равенство cth, из которого cth. Подстановкой  вместо  находим cth . Если , то для любого N   и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth .     

Приравняем полученные разложения:  

 , следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула

                                                                                        (4), где  - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.    

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

, где pi – i-е простое число                                             (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство

 Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным   , где    символ    *    означает,     что    суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

                                                                       (5).

Сумма  содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, . Из (5) получаем

                                                                  (6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а  есть произведение (4). Значит из неравенства при  , что и требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив , а именно показав, что