Факторіальні кільця та їх застосування

Курсова робота

на тему:

«Факторіальні кільця та їх застосування»

Вступ

Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення чисел. Найважливішими серед різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна алгебра. Вивчення властивостей саме цих алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У цій роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є факторіальними, тобто кільця, що є областю цілісності і будь-який їхній елемент, відмінний від нуля і дільників одиниці, однозначно (з точністю до дільників одиниці і порядку множників) розкладається на добуток простих множників. Зокрема будуть досліджуватись кільця головних ідеалів, евклідові кільця, кільця многочленів від однієї та від кількох змінних.

Кожний розділ теоретичного матеріалу супроводжується задачами, в розв’язанні яких підтверджуються на практиці теореми та властивості, які були доведені в теоретичній частині, та розглядаються окремі конкретні випадки, які допомагають краще зрозуміти той чи інший нюанс тієї чи іншої теми зокрема та теорії кілець в цілому.

1. Кільця: означення та приклади

Означення Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

"a, b [a+b=b+a];

"a, b, c [(a+b)+c=a+(b+c)];

$θ,"a [a+θ=a];

"a $г [a+г=θ];

"a, b, c [(ab) c=a(bc)];

"a, b, c [(a+b) c=ac+bc];

"a, b, c [c (a+c)=ca+cb];

Якщо операція множення комутативна, то кільце комутативне. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

№1 Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№2 Множина парних чисел є комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел. Справді, ця множина є абельова група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

№3 Множина R всіх дійсних чисел, очевидно також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

№4 Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення. Справді, які б ми не взяли числа a1+b1 і a2+b2 з множини K, їх сума (a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2), добуток (a1+b1) (a2+b2)= =(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2) і різниця (a1+b1) – (a2+b2)=(a1–a2)+(b1–b2) є числа виду , тобто належать до множини K. Отже в множині K визначені операції додавання та множення і здійсненна обернена додаванню операція віднімання. Оскільки операції додавання і множення дійсних чисел асоціативні й комутативні, а елементи множини K є дійсні числа, то операції додавання і множення елементів множини K також асоціативні й комутативні. З цієї ж причини в множині K операція множення дистрибутивна відносно операції додавання. Отже, множина є комутативне кільце.

До цього кільця належать, зокрема, всі раціональні числа (при b=0), а також число (при а=0, b=1). В цьому прикладі замість числа можна було взяти і інші.

№5 Множина, що складається з одного числа 0, очевидно, є кільце. Це кільце називають нульовим.

Означення Підмножина Kґ кільця K називається його підкільцем, якщо вона сама утворює кільце відносно визначених в K операцій.

Теорема (критерій підкільця) Kґ – підкільце кільця K тоді і тільки тоді, коли KґМK і "a, b [a, bОKґЮ(a±b)ОKґЩabОKґ].

Означення Характеристикою кільця K з одиницею називають найменше натуральне число n, для якого справджується рівність

ne=0

Якщо це можливо лише коли n=0, то говорять, що кільце K має нульову характеристику.

Зрозуміло, що всі числові кільця мають нульову характеристику.

Наведемо приклад кільця, яке має ненульову характеристику:

Z4={}, 4·=, n=4.

Теорема Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aОK справджується рівність na=0.

Доведення

ne=0 за умовою

na=n(ea)=(ne) a=0a=0.

Доведено.

Означення Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

Задачі

№1

На множині R задані операції:

aЕb=a+b+1,

aДb=a+b+ab,

де +, ž звичайні арифметичні операції. Довести, що алгебра (R,Е,Д), буде областю цілісності.

Доведення.

Властивості кільця перевіряються безпосередньою перевіркою. Перевіримо дистрибутивність

(aЕb)Дc=aДcЕaДb.

Нехай A=(aЕb)Дc, B=aДcЕaДb, тоді

A=(aЕb)Дc=(a+b+1)Дc=a+b+1+c+ac+ab+c=a+b+2c+ac+bc+1,

B=aДcЕaДb=(a+c+ac)+(b+c+bc)=a+c+ac+b+c+bc+1=a+b+2c+ac+bc+1,

Отже, A=B.

Перевіримо існування нульового елемента

aЕq=a,

a+q+1=a,

q=–1 – нульовий елемент.

Перевіримо існування симетричного елемента

aЕг=q,

a+г+1=–1,

г=–2-a – протилежний елемент.

Отже, алгебра (R,Е,Д) буде комутативним кільцем. Тепер з’ясуємо наявність одиниці.

aДe=a

a+e+ae=a,

e (1+a)=0,

e=0 – одиничний елемент.

З’ясуємо чи існують дільники 0.

aДb=–1, a≠–1, b≠–1,

a+b+ab=–1,

a+1+b (a+1)=0,

(a+1) (1+b)=0.

Оскільки a≠–1, b≠–1 і a, bОR, то дільників нуля немає.

Це означає, що K – область цілісності.

Доведено.

№2

Довести, що множина Z[] усіх чисел виду a+b, де a і b – цілі числа, є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення.

Доведення.

Застосуємо прийом, який дає змогу скоротити процес доведення. Якщо треба довести, що деяка непорожня множина K1 є кільцем, то її поміщають (якщо це можливо) в якесь відоме кільце K. Тоді треба лише довести, що K1 є підкільце кільця K, звідки випливає, що K1 – кільце.

Оскільки Z[] є підмножиною, наприклад, кільця всіх дійсних чисел R, то доведемо, що Z[] – підкільце кільця R. Застосуємо критерій підкільця. Насамперед, покажемо, що Z[]≠Ш. Це справді так, бо, наприклад, 0=0+0ОZ[]. Нехай тепер t=a+b, s=c+d, де a, b, c, d ОZ, t, s ОZ[].

Покажемо, що (t+s)ОZ[], (t–s)ОZ[], tsОZ[].

Справді, t±s=(a+b)±(c+d)=(a±c)+(b±d)ОZ[], оскільки (a±с)ОZ, (b±d)ОZ. Аналогічно для добутку дістанемо ts=(a+b)±(c+d)=(ac+3bd)+(ad+bc)ОZ[], оскільки для цілих чисел a, b, c, d, 3 маємо ac, 3bd, ad, bcОZ.

Отже, Z[] – підкільце кільця дійсних чисел R, а тому Z[] – кільце.

Доведено.

2. Ідеали кільця

2.1 Поняття ідеалу

В теорії подільності цілих чисел, а також в загальній теорії подільності в кільцях, важливу роль відіграє теорема про можливість і однозначність розкладу елемента (числа) в добуток простих множників. Виявляється в деяких кільцях розклад елемента на добуток простих множників не однозначний.

Наприклад, 60=2·30=6·10, а 2, 6, 30, 10 – прості елементи в Z2

Один і той же елемент в різних кільцях може бути простим і складеним.

Наприклад, 17 в Z[i] – складене 17=(4-i) (4+i).

Щоб з’ясувати, в яких кільцях справджується загальна теорема про існування і єдиність розкладу елемента в добуток простих множників, треба узагальнити поняття подільності елементів, що робиться за допомогою ідеалу.

Означення Непорожня множина I кільця K називається його ідеалом, якщо вона замкнена відносно віднімання і множення на довільний елемент кільця.

Переконаємося, що ідеал І замкнений відносно операції додавання. Справді із замкнутості відносно операції віднімання випливає, що 0ОА (а–а=0), – еОІ і поряд з кожним bОI I'(–b) – b=–eb. Тому з кожним елементом a–b містить a – (–b)=a+b. (a+b)ОI.

Звідси випливає, що ідеал І кільця К є його підкільцем. Проте не всяке підкільце кільця буде його ідеалом.

Розглянемо деякі приклади:

№1 К–ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним. Позначається Іе.

№2 Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим. Позначається І0.

Іе та І0 – тривіальні ідеали. В розумінні відношення включення Іе – найбільший, а І0 – найменший серед усіх ідеалів кільця.

Означення Ідеал І кільця К називається головним, якщо він складається з усіх елементів ка кільця К, аОК, кОК. Говорять, що він породжений елементом а. Позначають (а).

Наприклад, ідеал Z2 кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або –2.

2.1 Операції над ідеалами

Теорема Перетин ab ідеалів a, bОK є ідеалом кільця K.

Доведення.

З того, що a, bОI1ЗI2 випливає, що abОI1, abОI2. Так як I1 та I2 –ідеали, то (a–b)ОI1, (a–b)ОI2 Ю (a–b)ОI1ЗI2. aОI1ЗI2 Ю aОI1, aОI2.

kОK Ю kaОI1, kaОI2, kaОI1ЗI2.

Отже, I1ЗI2ОK.

Доведено.

Слід зауважити, що об’єднання ідеалів не завжди буде ідеалом кільця. Ця властивість поширюється на перетин n ідеалів.

Операції додавання й множення підмножин кільця можна, звичайно, застосувати до ідеалів.

Означення Сумою ідеалів I1, I2 кільця K називається множина I1+I2, яка визначається рівністю

I1+I2 ={a+bп aОI1, bОI2}.

Означення Добуток ідеалів I1I2 кільця К теж буде ідеалом кільця К.

Нехай а і b – довільні ідеали кільця К.

Теорема2. Сума а + b ідеалів a і b кільця К є ідеал цього кільця.

Доведення.

Справді, сума (а1 +b1) + (a2+ b2) будь-яких двох елементів a1+b1 і a2+b2 множини a+b належить до a+b, оскільки (a1+a2)Оa, (b1+b2)О b, і елемент – (а+b) = (–а) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b)О(a+b), також належить до a+b, бо (–a)Оa, (–b)Оb.

Отже, а + b є підгрупа адитивної групи кільця K. Крім того, для будь-яких елементів a+bОa+b і хОK x (a+b)=xa+xbОa+b і (a+b) x=ax+bxОa+b.

Цим теорему доведено.

Теорема 3. Добуток ab ідеалів а і b кільця К. також є ідеал кільця К.

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу Оab, належить до ab. Крім того, для будь-яких

Оab і xОK О ab й О ab.

Цим теорему доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів – асоціативна і комутативна, а операція множення – асоціативна. Якщо кільце К – комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.

Задачі

№1

Нехай K1 – підкільце кільця K. Довести, що K1ЗI –ідеал кільця K1.

Доведення.

Введемо позначення D=K1ЗI. Покажемо спочатку, що ідеал I, як і будь–який ідеал, містить нуль–елемент кільця K. Справді, оскільки I≠Ш, то в I існує хоч один елемент а. Тоді згідно з першим пунктом означення ідеалу, елемент а–а, тобто 0, теж належить ідеалу I. Оскільки 0ОK1, 0ОI, то 0ОD і тому D≠Ш.

Якщо a, bОD, то a, bОK1 і a, bОI. Згідно з означенням ідеалу і критерієм підкільця, a±bОI, a±bОK1, а тому a±bОD.

Нехай aОD, bОK1. Покажемо, що ab і ba належать D. Справді, оскільки DНK1, то a, bОK1 і за критерієм підкільця K1 маємо, що

ab, ba ОK1. (1)

Оскільки DНI, а I – ідеал кільця K, то для будь–якого елемента aОDНI і будь–якого елемента bОK1ОK маємо, що

ab, baОI. (2)

З включень (1) і (2) випливає, що

ab, baОK1ЗI=D.

Отже, D=K1ЗI –ідеал кільця K1.

Доведено.

№2

Чи є ідеалом (лівим або правим) така підмножина

в кільці M (2, Z).

Розв’язання

Перевіримо чи буде множина S лівим ідеалом

Перевіримо множення з ліва

Отже, дана підмножина лівим ідеалом кільця M (2, Z).

Перевіримо чи буде правим ідеалом

Отже правим ідеалом буде.

Відповідь: є правим ідеалом.

3. Факторіальні кільця

3.1 Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

3.1.1 Подільність в області цілісності

В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Ці кільця дістали назву кілець головних ідеалів. Вивченням їх ми і будемо займатись. Але спочатку викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.

Нехай R – область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення 1. Якщо для елементів а і b області цілісності R в R існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно аM b; b/а або а == 0 (mod b).

Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

З означення 1 випливають такі властивості подільності в області цілісності:

1. "(a, b, cОR) [aM bЩbM cЮaM c].

2. "(a, b, cОR) [aM cЩbM cЮ(a+b)M c Щ(a-b)M c].

3. "(a, b, cОR) [aM b Ю acM b].

4. "(a1, b1, a2, b2,…, an, bn, cО R) [a1 M cЩa2 M c Щ… ЩanM c Ю (a1b1 +a2 b2 + … + +an bn) M c].

Ці властивості, як легко бачити, є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.

5. Кожен елемент аО R ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε-1а) і, отже, ε/а.

6. Якщо а О R ділиться на bО R, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == bε (ε-1с) і, отже, bε/а.

7. Кожен з дільників одного з елементів а ОR і aεО R де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності а = сg випливає рівність aε == с (εg), а з рівності аε = сq – рівність а == с (ε-1q). Отже, якщо с/а, то с/аε, і навпаки.

Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R, відмінні від нуля.

Означення 2. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε-1.

Означення 2'. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо b= аε, де ε – деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і – т.

Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) Н (b) і (b) Н (а) і, отже, (а) = (b).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Нехай а і b – довільні елементи області цілісності R.

Означення 3. Елемент сОR називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.

Означення 4. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).

Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ε – будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ε, що є дільником одиниці.

Означення 5. Елементи а, bОR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.

Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R. Тоді а = аε• ε-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними – числа ±2, ±5.

Означення 6. Елемент аОR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аОR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.

Інакше кажучи,