Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Задание 1. Найти производные функций


a) Дифференцирование. Интегрирование

Пусть Дифференцирование. Интегрирование, Дифференцирование. Интегрирование, тогда Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

b) Дифференцирование. Интегрирование


Если функция имеет вид Дифференцирование. Интегрирование, то её производная находится по формуле Дифференцирование. Интегрирование.

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному: Дифференцирование. Интегрирование

По свойству логарифма Дифференцирование. Интегрирование

Таким образом,


Дифференцирование. Интегрирование

c) Дифференцирование. Интегрирование


Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование


Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции Дифференцирование. Интегрирование

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к. Дифференцирование. Интегрирование

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:


Дифференцирование. Интегрирование.


Дифференцирование. ИнтегрированиеНайдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.


Дифференцирование. ИнтегрированиеДифференцирование. ИнтегрированиеДифференцирование. ИнтегрированиеДифференцирование. Интегрирование


Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.


Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование


В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) Дифференцирование. Интегрирование<0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) Дифференцирование. Интегрирование>0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции Дифференцирование. Интегрирование:

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т.к. Дифференцирование. Интегрирование и Дифференцирование. Интегрирование


2) горизонтальных асимптот нет,

т. к. Дифференцирование. Интегрирование и Дифференцирование. Интегрирование


3) наклонных асимптот нет,


т. к. Дифференцирование. Интегрирование

и Дифференцирование. Интегрирование


Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2xy2)

Найдем частные производные первого порядка.


Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.


Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование


Дифференцирование. Интегрирование>0 Дифференцирование. Интегрирование Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2x – y2) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.


Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием


a) Дифференцирование. Интегрирование


Решаем методом замены переменной. Положим Дифференцирование. Интегрирование,


тогда Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование,

Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование

Таким образом, получаем


Дифференцирование. Интегрирование


Вернемся к переменной х.


Дифференцирование. Интегрирование


Проверим дифференцированием:


Дифференцирование. Интегрирование

b) Дифференцирование. Интегрирование


Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]

Дифференцирование. ИнтегрированиеС


Проверим дифференцированием:


Дифференцирование. Интегрирование

c)Дифференцирование. Интегрирование


Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем

Дифференцирование. Интегрирование


Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем


Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование


Подстановка Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование Дифференцирование. Интегрирование приводит интеграл к виду


Дифференцирование. Интегрирование


Возвращаясь к аргументу х, получаем


Дифференцирование. Интегрирование

Таким образом, Дифференцирование. Интегрирование,

где С=С1+С2


Проверим дифференцированием:

Дифференцирование. Интегрирование


Задание 5. Вычислить определенный интеграл


Дифференцирование. Интегрирование


Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая Дифференцирование. Интегрирование, находим


Дифференцирование. Интегрирование


Вернемся к переменной х.

Дифференцирование. Интегрирование

Дифференцирование. ИнтегрированиеТаким образом, Дифференцирование. Интегрирование


Библиографический список


Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.

Похожие рефераты: