Дифференцирование. Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций
a)
Пусть
,
,
тогда
b)
Если
функция имеет
вид
,
то её производная
находится по
формуле
.
Перейдем
от десятичного
логарифма к
натуральному:
По
свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:
Задание
2. Исследовать
методами
дифференциального
исчисления
и построить
график функции
Областью определения функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.
Функция
нечетная,
т. к.
Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем
стационарные
точки, приравняв
производную
к нулю.
Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке
х=0 вторая производная
не существует,
т. к. это точка
разрыва функции.
В интервале
(-∞; 0)
<0,
следовательно,
график функции
в этом интервале
выпуклый. В
интервале (0;∞)
>0,
следовательно,
график функции
в этом интервале
вогнутый.
Асимптоты
графика функции
:
1) вертикальная асимптота – прямая х=0
Т.к.
и
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к.
и
3) наклонных асимптот нет,
т. к.
и 
Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2x – y2)
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) – стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0
Следовательно,
функция Z
= ln
(3 – x2
+ 2x
– y2)
имеет экстремум
в точке М (1; 0) –
максимум, т. к.
A<
0.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем
методом замены
переменной.
Положим
,
тогда
,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка
приводит интеграл
к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким
образом,
,
где С=С1+С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5. Вычислить определенный интеграл
Сначала
вычислим
неопределенный
интеграл методом
замены переменной.
Полагая
,
находим
Вернемся к переменной х.
Таким
образом,
Библиографический список
Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.
Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.
Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.