Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
SІ OBC+S ІOAB +S ІAOC= 1/4(BCІODІ+OAІOBІ+OAІOCІ)=
=1/4(BCІODІ+OAІ(OBІ+OCІ))=1/4(BCІODІ+OAІBCІ), т.к.
ОВІ+ОСІ=ВСІ (по теореме Пифагора)
SІOBC+SІOAB+SІOAC=1/4 BCІ(ODІ+OAІ)=1/4 BCІADІ , т.к.
ODІ+OAІ=ADІ (по теореме Пифагора)
т.е. SІOBC+SІOAB+SІOAC=SІABC
SІ1+SІ2+SІ3=SІ, что и требовалось доказать.
II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.
Дано: А
ОАВС-
прямоугольный
тетраэдр
где а , b , с - катеты. В
АВ,
ВС и АС- гипотенузы
а
Доказать: b
АВІ+ВСІ+АСІ=2(аІ + b І +сІ)
Доказательство.
О
АВІ = аІ + b І с С
ВСІ = b І + сІ (по теореме Пифагора)
АСІ = аІ + сІ
АВІ + ВСІ + АСІ =2аІ + 2 b І +2сІ , что и требовалось доказать.
III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.
А
Дано:
ОАВС - прямоугольный тетраэдр
а , b , с - катеты. В
Доказать:
а b
V=(1/6) а · b · с
Доказательство. О С
с
Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём
V=(1/3 )Sосн · h
Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.
V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b ·.с
Имеем V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.
Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:
_______________
h = (a۰b۰c)/√aІ·bІ + bІ·cІ + aІ·cІ
где a, b, c – катеты тетраэдра
Дано: А
ОАВС- прямоугольный тетраэдр
ОА = а, ОВ = b, ОС = с катеты Д
ОД
= h
– перпендикуляр
к грани
АВС а
h
В
Доказать:b
____________ О
h = (a·b·c) / √aІbІ+bІcІ+aІcІс С
Доказательство.
Объем тетраэдра:
V = (1/3)SАВС·h
C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).
Следовательно,
h = (abc) / (2SАВС)
Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:
___________________
SАВС = √ЅІОАВ + SІОВС + SІ ОАС
____________
т.е. SАВС = (1/2)√aІbІ+bІcІ+aІcІ
Следовательно,
____________
h = (abc) / √aІbІ+bІcІ+aІcІ , что и требовалось доказать.
Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:
____________
cos α = h / a= (bc) / √aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
сos β = h / b = (ac) / √aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos γ = h / c= (ab) / √aІbІ+bІcІ+aІcІ
где a, b, c – катеты тетраэдра;
α – угол между катетом а и нормалью
β – угол между катетом b и нормалью
γ – угол между катетом с и нормалью.
h – нормаль
Дано:
ОАВС - прямоугольный тетраэдр.
ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты
ОД
= h
– нормаль к
грани АВС
А
Доказать: Д
____________
c
os
α
= (bc)
/ √aІbІ
+bІcІ
+aІcІh
____________ а В
cos β = (ac) / √aІbІ +bІcІ +aІcІαb
____________
β
cos
γ
= (ab)
/ √aІbІ
+bІcІ
+aІcІ γ
С
О с
Доказательство.
Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД
cos α = ОД/ОА = h/a
____________
Поскольку h = (abc) / √aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos α = (bc)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ , что и требовалось доказать.
Аналогично:
____________
cos β = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ
____________
cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√aІbІ+bІcІ+aІcІ
Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:
________
R = ( Ѕ) · √aІ+bІ+cІ
где a, b, c – катеты тетраэдра
К L
