Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.
А
Дано:
ОАВС -прямоугольный тетраэдр
ОА = ОВ = ОС = а – а
катеты В
Доказать, что гипотенузная а
грань является правильным
треугольником и косинусы О Д
двугранных углов между
гипотенузной гранью и катетными а
гранями равны С
___
√1/3
Доказательство.
Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:
_________ __
АС = √ ОАІ +OCІ = √2 а
_________ __
АВ = √ ОАІ +OBІ = √2 а
_________ __
ВС = √ ОВІ + ОСІ = √2 а
т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.
Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС
Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:
_ _ _ ___
АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а
ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:
_
ОД = а/√2
Косинус двугранного угла: __
сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.
Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.
Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.
ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.
Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.
А
Дано:
ОАВС- пирамида,
основанием является прямоугольный H
треугольник ОВС с катетами а и b В
ОА = Н, высота.
Найти: b
S полн. О Д
а
С
1) Решение по традиционной схеме:
S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ ________
ВС = √ аІ +bІ ; АД = √ ОДІ +НІ , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.
Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:
______
ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ аІ +bІ
Следовательно, _______________ ________________________
АД = √ (аb)/( аІ +bІ) + НІ = √[(аb)І +(bH)І + (аH)І]/( аІ +bІ)
_________________
В результате получаем SАВС= (1/2) √ (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb]
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
___________________ _________________
SАВС= √ SАОС І + SАОВІ + SВОС І = (1/2)√ (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb)
Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.
Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней
К L
Дано:
ОВДСАКLM - куб А М
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра
ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-
дящей через диагонали смежных а
граней. В Д
Найти:а
SАВС О
а С
1) Решение по традиционной схеме:
Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ __
АС = АВ = ВС = √ аІ + аІ = √2 а
Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:
_ _ _
SАВС= (√3/4)(АС)2 , т.е. SАВС= (√3/4)(2а2) = (√3/2)а2
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а2 (поскольку тетраэдр равнокатетный);
___________________
SАВС= √ SАОС І + SАОВІ + SВОС І
_________ _
Cледовательно, SАВС= (1/2) √ аІ + аІ + аІ