Xreferat.com » Рефераты по математике » Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

1 + (bc + ac + ab) / √aІbІ+bІcІ+aІcІaІbІ+bІcІ+aІcІ + ab + bc + ac


  1. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.


А

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = аа

катеты В


Доказать, что гипотенузная а

грань является правильным

треугольником и косинусы О Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными а

гранями равны С

___

√1/3


Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

_________ __

АС = √ ОАІ +OCІ = √2 а

_________ __

АВ = √ ОАІ +OBІ = √2 а

_________ __

ВС = √ ОВІ + ОСІ = √2 а


т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

_ _ _ ___

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а


ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

_

ОД = а/√2


Косинус двугранного угла: __

сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.


Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.


ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА


Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.


А


Дано:

ОАВС- пирамида,

основанием является прямоугольный H

треугольник ОВС с катетами а и b В

ОА = Н, высота.

Найти: b


S полн. О Д

а

С


1) Решение по традиционной схеме:


S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС


SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;


Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ ________

ВС = √ аІ +bІ ; АД = √ ОДІ +НІ , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.

Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:

______

ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ аІ +bІ


Следовательно, _______________ ________________________

АД = √ (аb)/( аІ +bІ) + НІ = √[(аb)І +(bH)І + (аH)І]/( аІ +bІ)

_________________

В результате получаем SАВС= (1/2) √ (аb)І +(bH)І + (аH)І

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb]


2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:


S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС


SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;

___________________ _________________

SАВС= √ SАОС І + SАОВІ + SВОС І = (1/2)√ (аb)І +(bH)І + (аH)І

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb)


Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.

Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней


К L

Дано:

ОВДСАКLM - куб А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра


ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-

дящей через диагонали смежных а

граней. В Д

Найти:а

SАВС О

а С

1) Решение по традиционной схеме:

Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ __

АС = АВ = ВС = √ аІ + аІ = √2 а


Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:

_ _ _

SАВС= (√3/4)(АС)2 , т.е. SАВС= (√3/4)(2а2) = (√3/2)а2


2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:


SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а2 (поскольку тетраэдр равнокатетный);

___________________

SАВС= √ SАОС І + SАОВІ + SВОС І


_________ _

Cледовательно, SАВС= (1/2) √ аІ + аІ + аІ

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: