Xreferat.com » Рефераты по математике » Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

РЕФЕРАТ


"Собственные вектора и собственные значения линейного оператора"


Понятие собственные векторы и собственные значения


Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Рис. 1


Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x) = λ·x (1)


Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:


P·X = λ·X


Преобразуем матричное уравнение:


P·X – λ·X = 0 или (P – λ·E) X =0


Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:


X=0=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r<n, т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие


|P – λ·E|=0 (2)


Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим


|P – λ·E|=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Раскрыв определитель, получим уравнение n-й степени относительно λ:

Которое называется характеристическим уравнением оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора. Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ1, λ2, …, λn. Для каждого найденного собственного значения λi найдем ненулевые векторы ядра оператора P – λi E. Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi. Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λi E) X=0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λi.

Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λi. Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λi как корня характеристического многочлена.


Независимость собственных векторов


Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1, λ2, …, λn, определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x1, x2, …, xn оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1, λ2, …, λn, линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – λE (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.


|P’ – λE|=|T-1PT – λE|=|T-1PT- λ T-1ET|=|T-1P- λ ET|=|T-1||P- λ ET||T|=|P- λ ET|


Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей P=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора в пространстве R2.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ·E|=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора= λ2-5 λ+4=0


Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:


(P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0


В развернутом виде


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора и Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Соответствующие однородные системы:


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Общие решения систем:


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора и Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, где с1, с2 є R


Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1=1, λ2=4, имеет вид Собственные вектора и собственные значения линейного оператора; Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, где с1, с2 є R. Векторы a1=(1, 1), a2=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2.

Пусть e1, e2, …, en – собственные векторы линейного оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора в пространстве Rn, которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(e1), Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(e2), …, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(en) по базису e1, e2, …, en примет вид


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Отсюда следует, что aij= λi, если i=j и aij=0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора


Симметричный оператор


Определение. Линейный оператор Собственные вектора и собственные значения линейного оператора в евклидовом пространстве Rn называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rn выполняется равенство


(Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y)= (x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y))


Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2. Пусть в ортобазисе e1, e2 заданы векторы x=(x1, x2), y=(y1, y2). Линейные операторы Собственные вектора и собственные значения линейного оператора1 и Собственные вектора и собственные значения линейного оператора2 определены своими матрицами:


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора и Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.


Вычислим векторы Собственные вектора и собственные значения линейного оператора1(x) и Собственные вектора и собственные значения линейного оператора2(y):


Собственные вектора и собственные значения линейного оператора,

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.


Найдем скалярные произведения (Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y) и (x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y)):


(Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y)=(a11x1+a12x2) y1+(a21x1+a22x2) y2=a11y1x1+a12y1x2+a21y2x1+a22y2x2,

(x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y))= (b11y1+b12y2) x1+(b21y1+b22y2) x2=b11x1y1+b12x1y2+b21x2y1+b22x2y2.


Найдем разность скалярных произведений:


(Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y) – (x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y)) = (a11-b11) x1y1+(a21-b12) x1y2+(a12-b21) x2y1+(a22-b22) x2y2.


Если для любых векторов x и y из пространства R2 равенство


(Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y) – (x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система


a11=b11,

a21=b12,

a12=b21, (4)

a22=b22,


и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что Собственные вектора и собственные значения линейного оператора1=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора2=Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.


Ортогональность собственных векторов


Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, соответствующие собственным числам λ1 и λ2, причем λ1 ≠ λ2. По определению симметричного оператора:


(Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), y)= (x, Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y))


Подставив сюда правые части равенства (Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x))= λ1x, (Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(y))= λ1y, получим

(λ1x, y)=(x, λ2y). Вынесем числа λ1 и λ2, за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1 – λ2) (x, y)=0

Поскольку λ1 ≠ λ2, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

Если в евклидовом пространстве Rn задан симметричный оператор Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, то в Rn существует ортонормированный базис e1, e2, …, en, составленный из собственных векторов Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.

Если все собственные числа λ1, λ2, …, λn симметричного оператора положительны, то (Собственные вектора и собственные значения линейного оператора(x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.


Положительные матрицы


Квадратная вещественная матрица A = (aij) называется положительной, если все её элементы положительны: aij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er, все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.


Список литературы


1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Похожие рефераты: