Измеримые множества

Мера ограниченного открытого множества

В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.

Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.

Определение 1. Мерой интервала (a, b) называется его длина, т.е. b - a. Это число обозначается так:

m (a, b) = b - a

Очевидно, что всегда m (a, b) 

Лемма 1. Если в интервале  содержится конечное число взаимно не налегающих интервалов ___n, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  = (A, B), _k = (a_k, b_k) (k = 1, 2, …, n).

Не нарушая общности, можно считать, что интервалы _k перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что

a₁  a₂  …  a_n.

Но тогда, очевидно, b_k a_k+1 (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы _k и _k+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма

Q = (B - b_n) + (a_n - b_n-1) + … + (a₂ - b₁) + (a₁ - A)

не отрицательна. Но очевидно, что , откуда и следует лемма.

Следствие. Если на интервале  лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов _k (k = 1, 2, 3, …), то

.

[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + ; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства _k C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]

Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин всех его составляющих интервалов _k:

(Не зная, конечно или счетно множество _k}, мы будем употреблять обозначение _k, подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом _k или _k.)

В силу вышеотмеченного следствия,

mG + 

Если множество G пусто, то мы , по определению, полагаем

mG=0,

так что всегда mG0.

Если  есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то

mG  m,

что вытекает из того же следствия.

Пример (Канторово множество G₀). Построение Канторова множества G₀ состояло из ряда последовательных шагов.

На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.

На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.

Таким образом

mG₀ =…

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG₀ = 1.

Теорема 1. Пусть G₁ и G₂ два ограниченных открытых множества. Если G₁  G₂, то

mG₁  mG₂.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть _i (i = 1, 2, …) и _k (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G₁ и G₂.

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов _i содержится в одном (и только одном) из интервалов _k.

Поэтому множество {_i} можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А₁, А₂, А_3,…, относя _i в А_k в том случае, когда _i _k.

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

, откуда ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих G.

Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих открытых множеств

,

то

.

Это свойство меры называется полной аддитивностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы множества G_k. Покажем, что каждый из них является составляющим интервалом суммы G.

В самом деле, то обстоятельство, что G, очевидно. Остается убедиться, что концы интервала не принадлежат G. Допустим, что, например, правый конец интервала принадлежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через должен принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть G_k'. (Очевидно kk, ибо множеству G_k точка заведомо не принадлежит.) Но множество G_k открыто и, стало быть, точка принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества _i^k^Однако это влечет за собой то, что интервалы _i^(k) и _i^k^пересекаются, последнее же противоречит условию G_k G_k= 0.

Итак, действительно, каждый из _i^(k) есть составляющий интервал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит хоть одному _i^(k) . Наконец, все эти интервалы различны. Таким образом, множество

(i = 1, 2, …; k = 1, 2, …)

есть множество всех составляющих интервалов суммы G.

Установив это, уже легко закончить доказательство:

=

что и требовалось доказать.

Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменить ее) на случай суммы п е р е с е к а ю щ и х с я слагаемых, нам понадобятся две простые леммы.

Лемма 2. Пусть сегмент [P, Q] покрыт конечной системой Н интервалов (Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выделим из системы Н некоторую ее часть Н*, которая строится следующим образом: обозначим через (_,) какой-нибудь из интервалов системы содержащих точку P

_ < P < ₁

(хоть один такой интервал существует). Если окажется, что _Q, то интервал (_ _) , и составляет требуемую систему ^Если же _Q, то ₁[P, Q], и можно в системе  найти интервал (_ _), содержащий точку _

_ < ₁ < ₂

Если окажется, что _Q, то процесс окончен, и интервалы (_ _) и (_ _) и составляют систему Н*.

Если же _Q, то ₂[P, Q], и можно в системе  найти интервал (_ _), содержащий _

_ < ₂ < ₃

Если _>Q, то процесс закончен, а если _Q, то продолжаем наш процесс.

Но ведь множество по условию конечно, а наш процесс состоит в выделении из все новых и новых интервалов, ибо

₁ < ₂ < ₃ < …

Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его состоит в том, что какая-то из точек _k окажется лежащей правее точки Q.

Пусть _n>Q, но _n-1Q, т.е. процесс заканчивается после n-го шага.

Тогда интервалы (_ _), (_ _), … , (_n _n) и составляют систему H. При этом _k+1<_k (k = 1, 2, … , n-1).

Значит

а так как _n - ₁Q – P, то Q – P  , откуда и подавно

Q – P  .

Лемма 3. Пусть интервал есть сумма конечного или счетного множества открытых множеств

.

Тогда

m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A, B) и пусть составляющие интервалы множества G_k суть _i^(k) (i = 1, 2, …).

Возьмем положительное число ) и рассмотрим сегмент , содержащийся в интервале 

Этот сегмент покрыт системой интервалов _i^(k) (i = 1, 2, …; k = 1, 2, …). Применяя к этой системе теорему Бореля о конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную систему

(s = 1, 2, … n),

покрывающую сегмент . В силу предыдущей леммы, , откуда и подавно

B – A - 2< .

Так как число произвольно мало, то

B – A ,

и лемма доказана.

Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества открытых множеств G_k, G = , то

mG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть _i (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы суммы G. Тогда mG = .

Но откуда, в силу леммы 3, и, стало быть,

(*)

С другой стороны

При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые правой части взаимно не пересекаются (потому что при ii`). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2, а потому

(**)

Сопоставляя (и (мы и получаем теорему.

Мера ограниченного замкнутого множества

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество C_SF открыто и поэтому имеет определенную меру m[C_SF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=a, b. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и C_sF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концовтогда, очевидно,

k=1, 2, … n-1,

откуда следует, что

Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

и откуда

т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с.

Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно (А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что

Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале тогда

 [ C_F]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество C_F – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

Тогда легко видеть, что С_F=C_S+C_sF.

Рис. 1

Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[C_F]=m[C_S]+m[C_sF].

Но, очевидно,C_S = (A, a) + (b, B), откуда

m[C_] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

m[C_F]=(B-A)-(b-a)+m[C_sF],

что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть F₁ и F₂ два ограниченных замкнутых множества. Если F₁ F₂, то mF₁mF₂.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть интервал, содержащий множество F₂. Тогда легко проверить, что С_F₁ C_F₂, и, стало быть, m[C_F₁ ] [ C_F₂ ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если F G, то mFmG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что G+C_F, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mmG + m[C_F], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть_k, _k k=1, 2, …)так что mG = (__k).

Возьмем произвольное  и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось _k - _kmG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[_k, _k], чтобы было

[_k_k,]  (_k, _k), m[_k, _k]  m(_k, _k) -,

(для чего достаточно взять такое _k, что

0 < _k < min[, ]

и положить _k = _k+_k, _k =_k - _k). Положим, наконец,

F₀= _k, _k].

Тогда, очевидно, F₀  G, F₀ замкнуто и

mF₀=(_k-_k) > (_k-_k) -