Xreferat.com » Рефераты по математике » Измеримые множества

Измеримые множества

Мера ограниченного открытого множества


В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.

Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.

Определение 1. Мерой интервала (a, b) называется его длина, т.е. b - a. Это число обозначается так:

m (a, b) = b - a

Очевидно, что всегда m (a, b) 

Лемма 1. Если в интервале содержится конечное число взаимно не налегающих интервалов n, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть = (A, B), k = (ak, bk) (k = 1, 2, …, n).

Не нарушая общности, можно считать, что интервалы k перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что

a1 a2 an.

Но тогда, очевидно, bk ak+1 (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы k и k+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма

Q = (B - bn) + (an - bn-1) + … + (a2 - b1) + (a1 - A)

не отрицательна. Но очевидно, что , откуда и следует лемма.

Следствие. Если на интервале лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов k (k = 1, 2, 3, …), то

.

[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + ; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства k C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]

Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин всех его составляющих интервалов k:

(Не зная, конечно или счетно множество k}, мы будем употреблять обозначение k, подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом k или k.)

В силу вышеотмеченного следствия,

mG +

Если множество G пусто, то мы , по определению, полагаем

mG=0,

так что всегда mG0.

Если  есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то

mG  m,

что вытекает из того же следствия.

Пример (Канторово множество G0). Построение Канторова множества G0 состояло из ряда последовательных шагов.

На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.

На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.

Таким образом

mG0 =

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG0 = 1.

Теорема 1. Пусть G1 и G2 два ограниченных открытых множества. Если G1 G2, то

mG1 mG2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть i (i = 1, 2, …) и k (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G1 и G2.

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов i содержится в одном (и только одном) из интервалов k.

Поэтому множество {i} можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А1, А2, А3,…, относя i в Аk в том случае, когда i k.

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

, откуда ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Мера открытого ограниченного множества G есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих G.

Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих открытых множеств

,

то

.

Это свойство меры называется полной аддитивностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы множества Gk. Покажем, что каждый из них является составляющим интервалом суммы G.

В самом деле, то обстоятельство, что G, очевидно. Остается убедиться, что концы интервала не принадлежат G. Допустим, что, например, правый конец интервала принадлежит G. Тогда этот правый конец (обозначим его через должен принадлежать какому-нибудь из слагаемых множеств. Пусть Gk'. (Очевидно kk, ибо множеству Gk точка заведомо не принадлежит.) Но множество Gk открыто и, стало быть, точка принадлежит одному из составляющих интервалов этого множества ikОднако это влечет за собой то, что интервалы i(k) и ikпересекаются, последнее же противоречит условию Gk Gk= 0.

Итак, действительно, каждый из i(k) есть составляющий интервал множества G. С другой стороны, каждая точка G принадлежит хоть одному i(k) . Наконец, все эти интервалы различны. Таким образом, множество

(i = 1, 2, …; k = 1, 2, …)

есть множество всех составляющих интервалов суммы G.

Установив это, уже легко закончить доказательство:

=

что и требовалось доказать.

Для того чтобы перенести теорему (соответственно изменить ее) на случай суммы п е р е с е к а ю щ и х с я слагаемых, нам понадобятся две простые леммы.

Лемма 2. Пусть сегмент [P, Q] покрыт конечной системой Н интервалов (Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выделим из системы Н некоторую ее часть Н*, которая строится следующим образом: обозначим через (,) какой-нибудь из интервалов системы содержащих точку P

< P < 1

(хоть один такой интервал существует). Если окажется, что Q, то интервал ( ) , и составляет требуемую систему Если же Q, то 1[P, Q], и можно в системе найти интервал ( ), содержащий точку 

< 1 < 2

Если окажется, что Q, то процесс окончен, и интервалы ( ) и ( ) и составляют систему Н*.

Если же Q, то 2[P, Q], и можно в системе найти интервал ( ), содержащий

< 2 < 3

Если >Q, то процесс закончен, а если Q, то продолжаем наш процесс.

Но ведь множество по условию конечно, а наш процесс состоит в выделении из все новых и новых интервалов, ибо

1 < 2 < 3 < …

Поэтому процесс обязательно должен закончится, а конец его состоит в том, что какая-то из точек k окажется лежащей правее точки Q.

Пусть n>Q, но n-1Q, т.е. процесс заканчивается после n-го шага.

Тогда интервалы ( ), ( ), … , (n n) и составляют систему H. При этом k+1<k (k = 1, 2, … , n-1).

Значит

а так как n - 1Q – P, то Q – P , откуда и подавно

Q – P  .

Лемма 3. Пусть интервал есть сумма конечного или счетного множества открытых множеств

.

Тогда

m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A, B) и пусть составляющие интервалы множества Gk суть i(k) (i = 1, 2, …).

Возьмем положительное число ) и рассмотрим сегмент , содержащийся в интервале 

Этот сегмент покрыт системой интервалов i(k) (i = 1, 2, …; k = 1, 2, …). Применяя к этой системе теорему Бореля о конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную систему

(s = 1, 2, … n),

покрывающую сегмент . В силу предыдущей леммы, , откуда и подавно

B – A - 2< .

Так как число произвольно мало, то

B – A ,

и лемма доказана.

Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G является суммой конечного числа или счетного множества открытых множеств Gk, G = , то

mG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть i (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы суммы G. Тогда mG = .

Но откуда, в силу леммы 3, и, стало быть,


(*)

С другой стороны

При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые правой части взаимно не пересекаются (потому что при ii`). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2, а потому


(**)

Сопоставляя (и (мы и получаем теорему.


Мера ограниченного замкнутого множества


Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=a, b. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концовтогда, очевидно,

k=1, 2, … n-1,

откуда следует, что


Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

и откуда

т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с.

Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно (А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что

Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале тогда

 [ CF]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CF – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

Тогда легко видеть, что СF=CS+CsF.


Рис. 1


Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CF]=m[CS]+m[CsF].

Но, очевидно,CS = (A, a) + (b, B), откуда

m[C] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

m[CF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF],

что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых множества. Если F1 F2, то mF1mF2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СF1 CF2, и, стало быть, m[CF1 ] [ CF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если F G, то mFmG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что G+CF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mmG + m[CF], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G сутьk, k k=1, 2, …)так что mG = (k).

Возьмем произвольное  и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось k - kmG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[k, k], чтобы было

[kk,] (k, k), m[k, k] m(k, k) -,

(для чего достаточно взять такое k, что

0 < k < min[, ]

и положить k = k+k, k =k - k). Положим, наконец,

F0= k, k].

Тогда, очевидно, F0  G, F0 замкнуто и

mF0=(k-k) > (k-k) -

Похожие рефераты: