Измеримые множества

height="39" align="BOTTOM" border="0" />> mG - .

Так как произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

С этой целью возьмем интервал содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество C_F. Каково бы ни было , мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф  С_F, mФm[C_F]-.

Положим G₀ = С_Ф. Легко видеть, что G₀ есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG₀ = m  mФ  m  m[C_F] +  = mF + 

Теорема доказана.

Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F = (F_kF_k’ = 0, k  k’

Тогда

mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F₁F₂ (F₁F₂=0).

Возьмем произвольное > 0 и подберем два ограниченных открытых множества G₁ и G₂ так, чтобы оказалось

G_i  F_i (i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G₁ + G₂.

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF  mG  mG₁ + mG₂ < mF₁ + mF₂ + .

В силу произвольности отсюда следует что

mF  mF₁ + mF₂ (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B₁ и B₂, что

B_i  F_i (i = 1, 2), B₁B₂ = 0.

Отметив это возьмем произвольное > 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G  F, mG < mF + 

Тогда множества B₁G и B₂G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F₁ и F₂.

Значит,

MF₁ + mF₂  m(B₁G) + m(B₂G) = m [B₁G + B₂G]

(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B₁G + B₂G G, откуда

mF₁+mF₂ mG mF+

и в силу произвольности ,

mF₁ + mF₂ mF. (^_

Сопоставляя (^и (^_получим

mF = mF₁ + mF₂,

что и требовалось доказать.

Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества

Определение 1. Внешней мерой m^E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E:

Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0  m*E  +

Определение 2. Внутренней мерой m*E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E:

m*E=.

Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0  m_*E  +.

Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то

m*G = m_*G = mG.

Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.

Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то

m*F = m_*F = mF.

Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.

Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е

m_*E  m*E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G ограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество F множества Е ни взять, будет F G и, в силу теоремы 3, mF mG. Отсюда m_*E mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m_*E m*E, что и требовалось доказать.

Теорема 4. Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A В, то

m_*A m_*В, m^*A m^*B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.

Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m_*A = sup S, m_*B = sup T.

Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.

Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Е_k

E=, то m*E

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества G_k, что

G_kE_k, mG_k<m*E_k+ (R=1, 2, 3, …).

Назовем через какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда Е откуда, в силу теоремы 3.

m*E  m  m  ,

и теорема вытекает из произвольности числа 

Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Е_k

Е= (E_kE_k’=0, kk’),

то

m*E_*E_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е₁, Е₂,... …, Е_n. Для любого  > 0 существуют такие замкнутые множества F_k, что

F_kE_k, mF_k>m_*E_k- (k=1, 2, …, n).

Множества F_k попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим

m_*E  m= mF_k > m_*E_k - .

Так как  произвольно, то m_*E_k m_*E.

Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m_*E_k и неравенство m_*E_k m_*E.

Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств E_k. Например, если Е₁=[0, 1], Е₂=[0, 1] Е=Е₁+Е₂, то m_*E=1, m_*E₁+m_*E₂=2.

Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если интервал, содержаций это множество, то

m* E+m_*[C_E]=m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное и найдем такое замкнутое множество F, что FC_Е, mFm_*[C_E]- .

Если мы положим G=C_F, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим

m_*E  mG = m- mF m- m_*[C_E] + .

Отсюда, в силу произвольности следует, что

m*E + m_*[C_E] m.

Для того чтобы получить обратное неравенство

m*E + m_*[C_E] m, (*)

приходится рассуждать тоньше.

Возьмем и найдем такое открытое ограниченное множество G₀, что G₀ Е, mG₀ < m*E + .

Назовем концы интервала черезA и B и построим такой содержащийся в интервал (a, b), что

A < a < A+, В - < b < B.

Сделав это, положим G = G₀ + (A, a) + (b, B).

Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что

mG < m*E + 

Но кроме того (и это здесь основное) множество F = C_G оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = а, bCG.

Так как F  С_Е, то m_С_ЕmF = m - mG  m - m*E -.

Отсюда, в силу произвольности следует неравенство (*), а с ним и теорема.

Следствие. В обозначениях теоремы будет

m*C_Е - m_*C_Еm*E – m_*E.

В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и С_Е, то получим, что m*C_Еm_*Е = mоткуда

m*C_Еm_*E = m*E + m_*C_E,

а это равносильно доказываемому утверждению.

Измеримые множества

Определение. Ограниченные множество Е называется измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу :

m^E=m_E.

Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:

mE=m^E=m_E .

Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”.

Если множество E неизмеримо, то о его мере нельзя говорить, и символ mE для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми мы считаем все неограниченные множества.

Теорема 1. Открытое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с мерой.

Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1. Точно также из теоремы 2, вытекает следующая теорема:

Теорема 2. Замкнутое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с введенной.

Из следствия теоремы 7, вытекает:

Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество, содержащееся в интервале множества Е и С_Е одновременно измеримы или нет.

Из сопоставления теорем 5 и 6 предыдущей темы следует:

Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества измеримых множеств, попарно не имеющих точек,

(Е_kЕ_k’ = 0, k  k’),

то множество Е измеримо и

Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следующей цепи неравенств:

Доказанное свойство меры называется ее полной аддитивностью.

В последней теореме существенно было, что отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Избавимся от этого ограничения, пока, впрочем, для случая конечного числа слагаемых множеств.

Теорема 5. Сумма конечного числа измеримых множеств есть измеримое множество.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Пусть причем множества

E_k (k =1, 2, …, n) измеримы.

Возьмем произвольное и построим для каждого k такое замкнутое множество F_k и такое открытое ограниченное множество G_k, чтобы было

F_k  E_k  G_k, mG_k – mF_k  (k = 1, 2, …, n).

Сделав это, положим

Очевидно, что множество F замкнуто, а G открыто и ограничено, и что

F  E  G, откуда следует, что

mF  m_E  m^ E  mG. (^

Но множество G – F открыто (ибо его можно представить в форме

G  CF) и ограничено. Значит, это множество измеримо. Множество F также измеримо, а потому, поскольку

G = F + (G – F)

и множества F и G – F не пересекаются, можно применить предыдущую теорему, что дает mG = mF + m(G – F), откуда

m(G – F) = mG – mF.

Аналогично мы установим, что

m(Gk – Fk) = mGk – mFk (k = 1, 2, …, n).

Отметим теперь легко проверяемое включение

G-F(G_F_k).

Все входящие сюда множества открыты и ограничены, так что, на основании теорем § 1, мы имеем

m(G-F)

или

mG - mF<

Отсюда и из (*) вытекает, что m*E - m_E<а также как сколь угодно мало, то

m*E = m_*E.

Теорема 6. Пересечение конечного числа измеримых множеств измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=, причем множества E_ измеримы. Назовем через какой-нибудь интервал, содержащий все множества E_. Легко проверить, что C_E=.

Но множества СE_ измеримы одновременно с множествами E_, откуда, в силу теоремы 5, следует измеримость множества C_E, а с ним и множества E, что и требовалось доказать.

Теорема 7. Разность двух измеримых множеств измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E = E_ - E_, где множества E_ и E_ измеримы. Назовем через какой-нибудь интервал, содержащий оба множества E_ и E_. Тогда E=E_C_E_ и дело сводится к предыдущей теореме.

Теорема 8. Если в условиях теоремы 7 будет E_E_, то

ME = mE_- mE_.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно E_=E+E_ (EE_=0), откуда, в силу теоремы 4, mE_=mE+mE_, что равносильно теореме.

Теорема 9. Если ограниченное множество E является суммой счетного множества измеримых множеств, то E измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=.

Введем множества A_(k=1, 2, …), полагая

A_=E_, A_=E_-E_, …, A_=E_-(E_+…+E_), …

Легко проверить, что . При этом все множества A_k измеримы и попарно не пересекаются (в последнем вся суть доказательства), так что дело свелось к теореме 4.

Условие ограниченности множества Е (которое в теореме 5 выполнялось само собой) отбросить нельзя, как видно хотя бы из примера Е_k = [0, k], где сумма _k = [0, +) неизмерима.

Теорема 10. Пересечение счетного множества измеримых множеств измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть _k, где все множества Е_k измеримы. Так как ЕЕ₁, то множество Е ограничено. Обозначим через  какой-нибудь интервал, содержащий это множество, и положим А_k= Е_k (k=1, 2, 3, …).

Тогда

_k=_k)=_k.

Легко проверить, что , и дело сводится к теоремам 3 и 9.

В заключение установим две теоремы, играющие важную роль в теории функций.

Теорема 11. Пусть множества Е₁, Е₂, Е₃, … измеримы. Если

и если сумма ограничена, то

[mE_n].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что множество Е можно представить в форме

Е=Е₁ + (Е₂ – Е₁) + (Е₃ – Е₂) + (Е₄ – Е₃) + …,

где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу теорем 4 и 8, следует, что

На основании самого определения суммы бесконечного ряда, последнее равенство можно переписать так

{

а это равносильно теореме, ибо

mE₁+=mE_n

Теорема 12. Пусть E₁, E_2,E₃,… суть измеримые множества, и Е= . Если Е₁E₂E₃_…, то

mE=lim.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Эту теорему легко свести к предыдущей. Действительно, обозначив через какой-нибудь интервал, содержащий множество Е₁, мы будем иметь

С_E₁C_E₂C_E₃C_E=.

В силу теоремы 11 мы получаем, что

m(С_E)=

что можно представить и так:

m - mE=