Измеримые множества

src="https://xreferat.com/image/54/1306469922_124.gif" alt="" width="130" height="36" align="BOTTOM" border="0" />

а это равносильно теореме.

Измеримость и мера как инварианты движения

Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов любой природы. Если указано правило, которое каждому элементу а множества А ставит в соответствие один и только один элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное отображение множества А в множество В. При этом не предполагается, что каждый элемент множества В оказывается соотнесенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим элемент b В, отвечающий элементу а часто обозначают через fаи пишут bf а

Если bfато мы будем называть элемент b образом элемента а, а элемент а прообразом элемента b. При этом один элемент b может иметь несколько прообразов.

Пусть А* есть часть множества А, а В* есть множество образов всех элементов А* (иначе говоря, если аА*, то f(а)В*, и если bВ*, то существует хоть один элемент аА* такой, что f(а)b). В таком случае множество В* называется образом множества А*, что записывают так: В*f(А*).

При этом множество А* называется прообразом множества В*.

Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению одного важного специального вида отображений.

Определение 1. Однозначное отображение  х) числовой прямой в себя называется движением, если расстояние между образами любых двух точек прямой равно расстоянию между самими этими точками:

 х) -  y)х – y .

Иначе говоря, движением называется такое отображение множества в множество которое не изменяет расстояний между точками 

В определение понятия движения не включено требование, чтобы каждая точка cлужила образом какой-нибудь точки, а также требование, чтобы разные точки  имели разные же образы. Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом пока для одного из них.

Теорема 1. Пусть  х) есть движение. Если х y, то  х) y).

Действительно, в этом случае х) - y)х - y

Теорема 2. a) Если А В, то А)  В).

b)

c)

d) Если пустое множество, то 

Доказательство предоставляется читателю; укажем лишь на то, что при доказательстве с) используется теорема 1.

Легко проверить, что следующие три отображения являются движениями:

Iх) = х + d (сдвиг),

II. х) = - х (зеркальное отражение),

III. х) = - х + d.

Чрезвычайно важным является то, что этими тремя (собственно – двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все возможные движения в 

Теорема 3. Если х) есть движение, то либо

х) = х + d,

либо

х) = - х + d.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, d. Тогда для всякого х будет х) – d х и, стало быть,

х ) = (-1) ^{х )} х + d х) = 0, 1

Функция х) определена для всякого х Нашей задачей является установление того, что х) есть постоянная величина.

Пусть x и y две точки, причем x  0, y  0, x  y. Тогда

x) -  (y) = (-1)^{ (x)} x – (-1)^{ (y)} y,

или

x) -  (y) = (-1)^{ (x)} [x – (-1)^ y],

где (y) -  (x) имеет одно из трех значений 

Пользуясь определением движения, можно утверждать, что

x – (-1)^ y =  x - y.

Отсюда, либо x – (-1)^ y = x – y, либо же x – (-1)^ y = -x + y.

Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что

2x = y [1 + (-1)^ ], откуда (при x = 0, или (при x = y, а это противоречит условию.

Значит, остается первый случай, который дает, что т.е. x) = (y).

Значит, для всех x  0 функция x) имеет одно и то же значение

(x) =  ( = 0, 1), так что x) = (-1)^ x + d.

Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для x = 0, теорема доказана.

Следствие. При движении каждая точка y  Z служит образом некоторой точки x  Z, т.е. Z) = Z.

Действительно, если (x) = (-1)^ x + d, то прообразом точки y служит точка x = (-1)^ (y-d).

Если x) = (-1) ^x + d есть некоторое движение, то движение

^ (x) = (-1)^ (x – d)

называется обратным движением. Эти два движения связаны соотношениями

^ (x)] = ^-1[ (x)] = x.

Иначе говоря, если точка х в движении имеет образом точку y, то в движении ^ точка y имеет образом точку х. Весьма важным является то, что для всякого движения существует обратное ему движение.

Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит в интервал той же меры, причем концами интервала-образа служат образы концов интервала-прообраза;

b) образ ограниченного множества есть ограниченное же множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a, b) есть некоторый интервал. Тогда при движении x) = x + d образом интервала служит интервал (а+ d, b + d), а при движении x) = -x + d – интервал (d – b, d – a). В обоих случаях m () = b – a = m.

Чтобы доказать b), обозначим через Е какое-нибудь ограниченное множество. Если есть интервал, содержащий множество Е, то

Е) так что Е) ограничено. Можно рассуждать и так: если для всех х из Е будет х k, то для всех у из E) будет уk+d

Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество переходит в замкнутое множество;

b) открытое множество переходит в открытое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. a) пусть F) есть образ замкнутого множества F. Обозначим через у_какую-либо предельную точку множества Fи найдем последовательность у_n, для которой

lim у_n = у_у_n (F).

Пусть х_^у_х_n=у ^–1(у_n).

Тогда х_nF. Но х_n – х_у_n – у_ так что х_n х_и, в силу замкнутости F, х_F, откуда у_ х_ F).

Значит F) есть открытое множество.

b) Пусть G есть открытое множество. Положим F=CG. Тогда F есть замкнутое множество и G+F=Z, GF=0.

Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,

 G) + F) = Z,  G)F) = 0,

т.е.  G) является дополнением замкнутого множества  F) и, стало быть, открыто.

Теорема 6. Мера открытого ограниченного множества не меняется при движении.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открытое ограниченное множество. Тогда и G) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через _k(k = 1, 2, 3…) составляющие интервалы множества G. На основании теоремы 4, составляющими интервалами множества G) служат интервалы (_k), причем легко проверить, что этими интервалами исчерпываются все составляющие интервалы множества G). Отсюда: m(G)=(_k)=_k = mG, что и требовалось доказать.

Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни внутренней меры ограниченного множества.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть E ограниченное множество. Взяв произвольное 0, найдем такое открытое ограниченное множество G, чтобы было GE, mG m* E + 

В таком случае G) есть открытое ограниченное множество, содержащее множество E). Стало быть

m*(E)m(G)=mG m*E+

В силу произвольности числа следует, что m*(E)m* E, так что при движении внешняя мера ограниченного множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается, ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней меры.

Итак

m*(E)=m*E.

b) Обозначим через какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда есть интервал, содержащий множество Е). Положим, далее, А=С_

Соотношения Е+А=ЕА=0 дают, что

А)=Е)  А)=0,

так что Е) есть дополнительные множества А) относительно интервала  (.Отсюда, в силу теоремы 7,

m*  (А)+m _  (Е)=m ()

и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,

m* А+m_*  (Е)=m.

Значит m_*Е)=m-m* (C_Е), и снова применяя теорему 7, мы находим, что

m_* (Е)=m_* Е.

Следствие. При движении измеримое множество переходит в измеримое множество той же меры.

Определение 2. Множества А и В называются конгруэнтными, если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.

С помощью этого термина доказанные результаты можно высказать в такой форме.

Теорема 8. Конгруэнтные множества имеют одинаковые внешнюю и внутреннюю меры. Множество, конгруэнтное измеримому множеству, измеримо и имеет ту же меру.

Класс измеримых множеств.

Мы изучали свойства самых измеримых множеств, здесь же мы остановимся на некоторых свойствах всего класса измеримых множеств.

Теорема 1. Всякое ограниченное счетное множество измеримо и мера его равна нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ограниченное множество Е состоит из точек х_1, х_2, х_3, …

Обозначим через Е_k одноэлементное множество, состоящее из точки х_k. Очевидно Е_k есть измеримое множество меры нуль, и теорема следует из равенства и теоремы 4.

Как показывает пример канторова совершенного множества Р₀, доказанная теорема не допускает обращения.

Определение 1. Если множество Е представимо в форме суммы счетного множества замкнутых множеств

то говорят, что Е есть множество типа F_

Определение 2. Если множество Е представимо в форме пересечения счетного множества открытых множеств

,

то говорят, что Е есть множество типа G_.

Из теорем 9 и 10 следует

Теорема 2. Всякое ограниченное множество типа F_или G_ измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Относительно множества типа F_это очевидно, ибо из ограниченности суммы множеств вытекает ограниченность слагаемых, а так как последние замкнуты, то и измеримы.

Если Е есть ограниченное множество типа G_, то обозначив через  какой-нибудь интервал, содержащий множество Е, мы сможем представить Е в форме пересечения измеримых множеств , после чего измеримость множества Е становится очевидной.

Определение 3. Если множество Е может быть получено, исходя из замкнутых и открытых множеств, с помощью применения конечного числа или счетного множества операций сложения и пересечения, то множество Е называется борелевым множеством. Ограниченное борелево множество называется измеримым (В).

Например, множества типа F_и типа G_ суть борелевы множества.

Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, установим, что верна следующая теорема.

Теорема 3. Множество, измеримое (В), измеримо (L).

Обратная теорема неверна: существуют примеры множеств измеримых (L) и неизмеримых (В). Первый эффективный пример такого множества был построен безвременно умершим московским математиком М.Я. Суслиным (1894-1919). Суслин открыл чрезвычайно важный и обширный класс так называемых А-множеств, каждое из которых (при условии ограниченности) измеримо (L). Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств, но существенно шире его.

Интересно выяснить, существуют ли вообще ограниченные множества неизмеримые (L)? Прямым счетом этого вопроса решить нельзя, как показывает следующая теорема.

Теорема 4. Множество М всех измеримых множеств имеет ту же можность, что и множество всех точечных множеств, т.е. 2­­^с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего ясно, что 2^с.

С другой стороны, возьмем какое-либо измеримое множество Е меры нуль и мощности с (например канторово множество Р­₀) и обозначим через S множество всех его подмножеств. Так как всякая часть множества меры нуль также имеет внешнюю меру нуль и, стало быть, измерима, то SM, а поскольку = 2^с, то ясно, что 2^с.

Теорема доказана.

Тем не менее, имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Существуют ограниченные неизмеримые множества.

Для доказательства этого факта приведем следующий пример.

Пример неизмеримого множества. Разобьем все точки сегмента на классы, относятся две точки x и у в один класс, тогда и только тогда, когда разность их х - у есть число рациональное. Это можно сделать следующим образом: соотнесем каждой точке х12, +1класс K (х), состоящий из тех точек сегмента которые имеют вид х + r, где r-рациональное число. В частности х K(х).

Покажем, что р а з л и ч н ы е классы Kхи Kуне пересекаются между собою. Действительно, предположим, что они пересекаются и пусть zK(х)K(у). Тогда z х + r_ху + r_у, где r_х и r_у рациональные числа, откуда

у х + r_х r_у, где r_x и r_у рациональные числа, откуда у x  r_x  r_у.

Теперь, если t  K(у), то

t  у r  x  (r_x  r_у + r)  x  r’,

так что tKxи K(у) K(x). Аналогично мы установим, что K(x)K(у) и тогда окажется, что K(x)  K(у), т.е. K(x) и K(у) представляют собою один и тот же класс, вопреки предположению, что это различные классы.

Множество всех построенных таким образом классов и дает нам требуемое разбиение.

Сделав это, выберем из каждого класса по одной точке и обозначим через А множество выбранных точек.

Множество А неизмеримо.

Чтобы доказать