Xreferat.com » Рефераты по математике » Применение интегралов к решению прикладных задач

Применение интегралов к решению прикладных задач

Размещено на /

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования Московской области

Московский Государственный Областной Педагогический Институт

Физико-математический факультет.

Курсовая работа

на тему


Применение интегралов

к решению прикладных задач


Выполнил студент

группы 3-М-2

Ширшов Вадим Алексеевич

Проверила

Воробьёва Н.Г.


Орехово-Зуево.

2008


Содержание


Вступление.

1. Определённый интеграл.

1.1 Площадь криволинейной трапеции.

1.2 Объём тела.

1.3 Длина дуги.

1.4 Площадь поверхности вращения.

1.5 Нахождение статического момента и центра тяжести кривой.

1.6 Нахождение статического момента и центра тяжести плоской фигуры.

1.7 Механическая работа.

2. Двойной интеграл.

2.1 Вычисление площади в случае прямоугольной области.

2.2 Вычисление площади в случае криволинейной области.

2.3 Вычисление объёма цилиндрического бруса.

2.4 Механические приложения.

3. Криволинейный интеграл.

3.1 Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.

3.2 Приложения к физическим задачам.

4. Поверхностный интеграл.

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением.

4.2 Площадь поверхности в общем случае.

5.Тройной интеграл.

5.1 Масса тела. Объём.

5.2 Замена переменной в тройном интеграле.

Заключение.


Вступление


Известно, какие замечательные и разнообразные приложения имеет математический анализ как в самой математике, так и в смежных областях знания. Поэтому сама мысль о связи математического анализа с другими математическими дисциплинами и с потребностями практики должна быть усвоена учащимися при изучении основ анализа уже в школе. Изложенный в данной работе материал лишь немногим связан со школьным курсом. В школе в 10-11 классах изучаются неопределённые и определённые интегралы, практикуется вычисление простейших интегралов и нахождение площади криволинейной трапеции, что составляет лишь малую часть всего интегрального исчисления.

интеграл площадь объем статический момент


1. Определённый интеграл


1.1 Площадь криволинейной трапеции


Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции Применение интегралов к решению прикладных задач (чертёж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой Применение интегралов к решению прикладных задач, имеющей уравнение Применение интегралов к решению прикладных задач, где Применение интегралов к решению прикладных задач- положительная и непрерывная в промежутке Применение интегралов к решению прикладных задач функция; снизу она ограничена отрезком Применение интегралов к решению прикладных задач оси Применение интегралов к решению прикладных задач, а с боков – двумя ординатами Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач(каждая из которых может свестись к точке).


Применение интегралов к решению прикладных задач

Чертёж 1.


Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток Применение интегралов к решению прикладных задач на части, вставив между a и b ряд точек Применение интегралов к решению прикладных задач. Обозначив через Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач, соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции Применение интегралов к решению прикладных задач в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)


Применение интегралов к решению прикладных задач, Применение интегралов к решению прикладных задач.


Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому Применение интегралов к решению прикладных задач. Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей Применение интегралов к решению прикладных задач обе суммы имеют своим пределом интеграл Применение интегралов к решению прикладных задач, следовательно, ему и равна искомая площадь P=Применение интегралов к решению прикладных задач. (1)

Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (чертёж 2), уравнения которых Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач Применение интегралов к решению прикладных задач, то, рассматривая её как разность двух фигур Применение интегралов к решению прикладных задачи Применение интегралов к решению прикладных задач, получим площадь названной трапеции в виде P=Применение интегралов к решению прикладных задач. (2)

Пусть теперь дан сектор AOB (чертёж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая AB задаётся полярным уравнением Применение интегралов к решению прикладных задач, где Применение интегралов к решению прикладных задач - положительная непрерывная в промежутке Применение интегралов к решению прикладных задач функция.


Применение интегралов к решению прикладных задач

Чертёж 2. Чертёж 3.


Вставив между Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач (см. чертёж) значения Применение интегралов к решению прикладных задач, проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции Применение интегралов к решению прикладных задач в Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач, то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач.


Применение интегралов к решению прикладных задач


В этих суммах Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач легко узнать суммы Дарбу для интеграла Применение интегралов к решению прикладных задач; при стремлении к нулю наибольшей из разностей Применение интегралов к решению прикладных задач обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P) квадрируема и P=Применение интегралов к решению прикладных задач. (3)

Примеры:

1). Определить площадь фигуры, заключённой между двумя конгруэнтными параболами Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач (чертёж 4).

Очевидно, нужно воспользоваться формулой (2), полагая там Применение интегралов к решению прикладных задач, Применение интегралов к решению прикладных задач. чертёж 4.

Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдём абсциссу точки M пересечения обеих парабол, отличной от начала; она равна 2p. Имеем


Применение интегралов к решению прикладных задач.


2). Формула (1) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями Применение интегралов к решению прикладных задач, Применение интегралов к решению прикладных задач. Применение интегралов к решению прикладных задач. Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что Применение интегралов к решению прикладных задач при Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач при Применение интегралов к решению прикладных задач): Применение интегралов к решению прикладных задач. (4)

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления Применение интегралов к решению прикладных задач, Применение интегралов к решению прикладных задач и учесть, что Применение интегралов к решению прикладных задач возрастает от Применение интегралов к решению прикладных задачдо Применение интегралов к решению прикладных задач, когда Применение интегралов к решению прикладных задач убывает от Применение интегралов к решению прикладных задач до нуля, то найдём Применение интегралов к решению прикладных задач. Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили её.


Применение интегралов к решению прикладных задач


Чертёж 5.


Применение интегралов к решению прикладных задач


3). Найти площадь одного витка архимедовой спирали Применение интегралов к решению прикладных задач(чертёж 6).

Имеем по формуле (3) Применение интегралов к решению прикладных задач, в то время как площадь круга радиуса Применение интегралов к решению прикладных задач будет Применение интегралов к решению прикладных задач. Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.

4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой


Применение интегралов к решению прикладных задач, Применение интегралов к решению прикладных задач (чертёж 5). Имеем по формуле (4)

Применение интегралов к решению прикладных задач.


Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.


1.2 Объём тела


Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту: Применение интегралов к решению прикладных задач.

Возьмём многоугольники Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач, соответственно содержащиеся в (P), так, чтобы их площади Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач стремились к P . Если на этих многоугольниках построить прямые призмы Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач высоты H, то их объёмы Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач будут стремиться к общему пределу Применение интегралов к решению прикладных задач, который и будет объёмом нашего цилиндра


Применение интегралов к решению прикладных задач


Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач, и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, - обозначим её через P(x) – будет непрерывной функцией от x (для Применение интегралов к решению прикладных задач).

Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой Применение интегралов к решению прикладных задач. (5)

Для доказательства разобьём отрезок Применение интегралов к решению прикладных задач на оси x точками Применение интегралов к решению прикладных задач на части и разложим плоскостями Применение интегралов к решению прикладных задач, проведёнными через точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i-й слой, содержащийся между плоскостями Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач(i=0,1,…,n-1). В промежутке Применение интегралов к решению прикладных задач функция P(x) имеет наибольшее значение Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач. Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, Применение интегралов к решению прикладных задач, то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь Применение интегралов к решению прикладных задач, и содержать в себе наименьшее, с площадью Применение интегралов к решению прикладных задач. Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты Применение интегралов к решению прикладных задач, то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этих цилиндров будут, соответственно, Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач.

Из входящих цилиндров составится тело (T), а из выходящих – тело (U). Их объёмы равны, соответственно, Применение интегралов к решению прикладных задач и Применение интегралов к решению прикладных задач и, когда стремится к нулю Применение интегралов к решению прикладных задач, имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объём тела(V).


Применение интегралов к решению прикладных задач


Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением Применение интегралов к решению прикладных задачПрименение интегралов к решению прикладных задач, где Применение интегралов к решению прикладных задач

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: