Операторы проектирования

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Операторы проектирования.

Выполнил студент 5курса

математического факультета

Лежнин В.В.

/подпись/

Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов А.К.

/подпись/

Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная М.И.

/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И. Варанкина

/подпись/ << >>

Киров

2003

Оглавление.

Введение. 2

Часть I. Основные понятия и предложения. 2

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10

Часть III. Задача о дополняемости. 13

Литература. 15

Введение.

В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.

Часть I. Основные понятия и предложения.

Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.

Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.

Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:

Ј + "x, yОX.

= "xОX, "a - скаляра.

> 0, если x№0.

Примеры нормированных пространств.

1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию <Ґ,

норма в таком пространстве определяется ;

2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < Ґ, и норма определена как = .

3) С[0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется =

Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию

A(ax+bx) = aAx+bAx.

Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.

Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.

Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.

Доказательство.

Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х ® 0 в Е, но последовательность {Ах}не сходится к 0 в Е, а это противоречит непрерывности оператора А.

В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е

.

Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .

Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.

Свойства проекторов.

Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).

R(P) = N(I-P) = {xОX, Px = x}, где I – тождественное отображение;

R(P)ЗN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);

Доказательство 1.

а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);

б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);

Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).

Доказательство 2.

Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};

Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);

Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MЗN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MЕN.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.

Теорема o замкнутом графике.

Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xОX} (его график) замкнуто в XґY. Тогда Т – непрерывно.

Предложение 2. Пусть Щ - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Щx №0 для некоторого x из X.

Тогда если Щ непрерывен, то ядро N(Щ) замкнуто в X.

Доказательство.

Так как N(Щ) = Щ({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Щ влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).

Теорема 1.

а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ЕN(P);

б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АЕВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.

Доказательство:

а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ЕN(P);

Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .

Пусть последовательности x→x и Px→y.

Так как Px принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.

Аналогично x- Px принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.

Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.

Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:GґG®G, определенного равенством: j(x,y)=xy.

Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.

Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.

Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T:X®X, причем

T = TT, где s, t принадлежат G

и отображение (s, x) ® Tx прямого произведения GґX в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.

Теорема 2.

Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т(Y)МY для любого sОG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.

Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда

dm Ј dm

Пример недополняемого подпространства.

Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:

(n)=edx, (n=0,1, 2, …). (1)

(для простоты обозначается: f(x)=f(e )).

В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу

e ОG оператор сдвига t, полагая, что

(tf)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)

Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ()(n) =e dx.

Произведем замену: x+s = t Ю x = t-s. Тогда

()(n)=ed(t-s) =

= ee