Операторы проектирования
Министерство Образования Российской Федерации
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/
Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/
Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой М.В. Крутихина
/подпись/ << >>
Декан факультета В.И. Варанкина
/подпись/ << >>
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:
Ј + "x, yОX.
= "xОX, "a - скаляра.
> 0, если x№0.
Примеры нормированных пространств.
1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x, …,x, …), удовлетворяющие условию <Ґ,
норма в таком пространстве определяется ;
2) L(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < Ґ, и норма определена как = .
3) С[0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется =
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(ax+bx) = aAx+bAx.
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y= Ax существует такая окрестность U точки x, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х ® 0 в Е, но последовательность {Ах}не сходится к 0 в Е, а это противоречит непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
R(P) = N(I-P) = {xОX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
R(P)ЗN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MЗN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MЕN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xОX} (его график) замкнуто в XґY. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть Щ - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Щx №0 для некоторого x из X.
Тогда если Щ непрерывен, то ядро N(Щ) замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N(Щ) = Щ({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Щ влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ЕN(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АЕВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ЕN(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x→x и Px→y.
Так как Px принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x- Px принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:GґG®G, определенного равенством: j(x,y)=xy.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T:X®X, причем
T = TT, где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) ® Tx прямого произведения GґX в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т(Y)МY для любого sОG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда
dm Ј dm
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:
(n)=edx, (n=0,1, 2, …). (1)
(для простоты обозначается: f(x)=f(e )).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e ОG оператор сдвига t, полагая, что
(tf)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)
Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ()(n) =e dx.
Произведем замену: x+s = t Ю x = t-s. Тогда
()(n)=ed(t-s) =
= ee