Операторы проектирования

то есть (tf)(n)= e (n). (3).

Так как e ОG, то t(H) = H для любого вещественного s.

Если бы подпространство H было дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L на H, что tQ = Qt для любого вещественного s. (4).

Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то

Qte = eQe. (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6).

Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe = Ce. (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н. Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что

С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С = 1 при любом nі0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(e)=e. (8).

Рассмотрим функцию f (x) = e, (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f>0. Поэтому

= dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf)(x) = e = (11).

Так как dx = Ґ, то из леммы Фату следует, что ® Ґ, при

r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что H недополняемо в L.

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=, "x, yОH;

b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), "x, y, zОH;

c) (ax,y)=a(x,y), "x, yОH, "aОC;

d) (x,x)і0, "xОH;

e) (x,x)=0 Ы x=0, "xОH;

Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).

Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.

Через Е обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.

Нормой в пространстве Н называется число .

Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.

Примеры гильбертовых пространств.

1) l - комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ;

2) L(0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой

(f, g) = dx.

Теорема3:

М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=МЕМ, М - ортогональное дополнение к М).

Доказательство:

Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е является подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E

(g, f) = = 0, и потому g тоже входит в Е, значит Е - замкнутое подпространство.

(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М, то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МЗМ={0}.

(2) Пусть х принадлежит Н.

Рассмотрим множество х-М = {х-х: хОМ}, причем х такой, что он минимизирует величину . Пусть х = х-х, следовательно, Ј для любых y из М, значит, х принадлежит М, поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х+х, где х из М и х из М.

Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М Н=МЕМ, следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.

Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.

1) в l рассмотрим элементы x = (x, …,x, …), у которых x= 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l замкнутое подпространство. Назовем его X.

Рассмотрим также элементы y = (y, …, y, …), у которых y произвольные при четных n, и y= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l, и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X.

2) L(0,1).

Пусть X – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].

Пусть Y – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).

Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L(0,1) с помощью Y.

Часть III. Задача о дополняемости.

Пусть С[0, 2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p].

Пусть Е – множество четных чисел и пусть

С = {f(x)О С