Xreferat.com » Рефераты по математике » Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды

Узнай стоимость написания твоей работы
Нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.)? Обратитесь к нашим специалистам! Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее Гарантии Отзывы

Асп. Музаев Н.И.

Кафедра математики.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет

Составлена математическая модель волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. Модель представляет начально-краевую задачу математической физики для потенциала средней по ширине векторной скорости. В основном дифференциальном уравнении начально-краевой задачи в качестве переменных коэффициентов содержится ширина водохранилища, зависящая от продольной и вертикальной координат. Составленная математическая модель позволяет решить широкий класс прикладных задач, связанных с теорией колебаний и волн в узких глубоких непризматических водохранилищах.

Предположим, что в прямоугольной системе координат xoyz часть пространства, ограниченная условиями 0 £ x £ l, – 1/2 B(x, z) £ y £ 1/2 B(x, z), –H £ z £ 0, представляет узкое глубокое непризматическое водохранилище. Ось oz направлена вертикально вверх, ось ox направлена в продольном, а ось oy – в поперечном направлении водохранилища. L – длина, B(x,z) – ширина, H – глубина водохранилища. Как правило, в горных условиях водохранилища строятся в узких глубоких каньонах ущелий рек. В связи с этим в дальнейшем будем считать, что ширина водохранилища B(x, z) намного меньше, чем ее длина. Кроме этого будем считать, что градиенты в поперечном направлении поля скоростей и гидродинамического давления намного меньше, чем градиенты в продольном и вертикальном направлении водохранилища. Ширина схематизированного водохранилища зависит от продольной и вертикальной координат B = B(x, z), т.е. рассматривается водохранилище с непризматической конфигурацией как в продольном, так и в вертикальном направлении. Для таких водохранилищ решение пространственной задачи волнового движения воды связано с большими математическими трудностями и в мире никем не решена.

В связи с этим трехмерные дифференциальные уравнения гидродинамики интегрально усредняют по площади живого сечения воды, в результате получают одномерные дифференциальные уравнения движения воды в естественных водоемах. В связи с тем, что водохранилища в горных местностях являются глубокими и узкими, то, в отличие от теоретической гидравлики, трехмерные уравнения гидродинамики мы интегрально усредняем только по поперечной координате y, а вертикальную координату оставляем без изменений.

В гидродинамике волнового движения жидкости дифференциальные уравнения используют в «отфильтрованном» виде, т.е. пренебрегают нелинейные члены как малые величины по сравнению с линейными членами. В проекциях на оси x, y и z эта система в «отфильтрованном» виде запишется так [1-3]:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; (1)

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды,

где приняты следующие обозначения: Vx , Vy и Vz – скорости в продольном, поперечном и вертикальном направлениях соответственно, зависящие от всех пространственных координат и времени t ; r – плотность; P – гидродинамическое давление; a – скорость звука в воде.

Усредним интегрально систему дифференциальных уравнений (1) по поперечной координате y.

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды;

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (2)

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды.

Обратимся к известной формуле дифференцирования под знаком интеграла:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (3)

Интегралы, входящие в выражения (2), преобразуются так:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды;

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (4)

В результате такого усреднения система~(2) запишется следующим образом:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; (5)

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды; (6)

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды, (7)

где приняты обозначения:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды,

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды,

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (8)

Величины Ux , Uz и P представляют собой средние значения по ширине водохранилища соответственно Ux , Uz и P; q(x,z,t) – интенсивность боковой приточности, определяющаяся выражением:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды (9)

Систему (5,6) в векторной форме можно записать так:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды, (10)

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды, (11)

где Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды.

Считая, что движение воды безвихревое, т.е. rot Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды = 0, и вводя потенциал средней по ширине скорости

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды, (12)

из выражения (10) получаем интеграл Коши в линейном приближении:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (13)

Компоненты средней скорости через потенциал скорости F(x, z, t) выражаются так:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды, Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды . (14)

В связи с тем, что потенциал скорости волнового движения жидкости определяется с точностью до произвольной функции, зависящей только от времени t, произвольную функцию f(t) можно считать тождественно равной нулю. На свободной волновой поверхности должно быть задано гидродинамическое давление Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. При отсутствии внешнего давления Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды.

Обозначив уравнения волновой поверхности через z = h(x, t), выражение (13) запишется так:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (15)

Линеаризуя выражение (15), получаем:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (16)

В линейном приближении очевидно равенство:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (17)

Дифференцируя выражение (16) по t и подставляя в него (17), получаем:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (18)

Из выражения (13) при f(t) = 0 для давления получается следующая его зависимость от потенциала скорости:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (19)

Подставив выражения (14) и (19) в (11), получим следующее дифференциальное уравнение для потенциала скорости:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (20)

Как известно, в классической теории двумерного волнового движения упругой жидкости, для потенциала скорости имеется следующее уравнение [1,3]:

Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды. (21)

Сравнивая уравнения (20) и (21), легко заметить, что в полученном в данной работе уравнении дополнительно содержатся три слагаемых. Последние две слагаемые в левой части учитывают непризматическое очертание водохранилища как в плане, так и по глубине. Величина q(x, z, t) представляет интенсивность вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения селелавинообразного потока в водохранилище.

Отметим, что в статье [4] получено дифференциальное уравнение для потенциала волнового движения несжимаемой жидкости в непризматическом водохранилище. В данной работе теория представляется более общей в связи с тем, что в ней учтена упругость воды, т.е. первое слагаемое уравнения(20).

Список литературы

1. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.

3. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.

4. Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши – Пуассона в узких глубоких непризматических водоемах// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. ест. науки. Ростов-на Дону. 1995. № 3.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: