Рациональные уравнения и неравенства
4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.
5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), если f (x) ³ 0,
| f (x) | =– f (x), если f (x) < 0.
Рациональные неравенства.Пусть ¦ (c ) ¾ числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство
¦ (c ) < 0 (¦ (c ) > 0) (1)
¾ это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции ¦ , при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции ¦ , при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.
Множество решении нестрого неравенства
¦ (c ) £ 0(¦ (c ) ³ 0) (2)
представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества решении уравнения ¦ (c ) = 0.
Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.
Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦ (c ).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции ¦ i(c ), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств ¾ это значит найти множество всех значении аргументов функции ¦ i(c ), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.
Свойства равносильных неравенств.При решении неравенств используют свойства равносильности.
Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.
Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении хÎ [2; +¥ ]. Эти неравенства – равносильные.
Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество хÎ [0; +¥ ], а решение второго неравенства есть множество хÎ [-¥ ; 0]È [0; +¥ ]. Эти множества не совпадают.
При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.
Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хÎ R.
Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.
Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.
По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) > Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.
Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.
б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).
Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.
Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хÎ R, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.
Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎ R.
Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.
Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хÎ R; получим равносильное неравенство:
P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),
T(x) > 0, xÎ R,
P(x)× T(x) > Q(x)× T(x) – неравенство (2).
Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.
Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.
По свойству числовых неравенств P(a)× T(a) > Q(a)× T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.
Пусть при х = b неравенство P(b)× T(b) > Q(b)× T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.
По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства.
Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.
Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.
Алгебраические неравенства.Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,
решениями которых будут:
при a > 0
xÎ (-b/a ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a ), xÎ [ -b/a ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a],
при а < 0
xÎ ( -¥ ; -b/a), xÎ ( -b/a ; ¥ ), xÎ ( -¥ ; -b/a], xÎ [ -b/a ; ¥ ).
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax2 + bx + c > 0,ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ³ 0,ax2 + bx + c £ 0,
где a, b, c ¾ некоторые действительные числа и а ¹ 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения:
при а > 0 и D = b2 – 4ac ³ 0
xÎ ( -¥ ; 
)È
(
; ¥
);
при а > 0 и D < 0 x ¾ любое действительное число;
при а < 0 и D ³ 0
xÎ (
; );
при а < 0 и D < 0
x = Æ (т. е. решении нет ).
Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).
Метод интервалов.Пусть Рn(x) ¾ многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c1, c2, ¼ , ci ¾ все действительные корни многочлена с кратностями k1, k2, ¼ , ki соответственно, причем с1 > c2 > ¼ > ci. Многочлен Pn(x) можно представить в виде
Рn(x) = (x - c1) k1(x - c2) k2 ¼ (x – ci)ki Qm(x),(3)
где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хÎ R. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 ¾ корень нечетной кратности (k1 ¾ нечетное), то при хÎ (с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х) 0 при хÎ (c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.
Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 ¾ нечетное, и не меняет знака, если k2 ¾ четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения
Рn(х) > 0,(4)
достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.
Пример: Решить неравенство
х4 + 3х3 – 4х > 0.(*)
Решение. Разложим на множители многочлен Р4(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем
Р4(х) = х(х3 + 3х2 – 4).
Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде
х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2) 2.
Таким образом, Р4(х) = х(х - 1)(х + 2) 2 и неравенство (*) может быть записано в виде
х(х –1)(х + 2)2 > 0. (**)
Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.
Будем двигаться по оси Ох справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р4(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 ¾ простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0 ¾ также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 ¾ корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.
Ответ. х Î (-¥ ; -2) È (-2; 0) È (1; ¥ ).
Пример: Решить неравенство
(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.
Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенство примет вид y(y +3) < 10, или y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5 стоят знаки ½ х +1½ . Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,
откуда
Наименьшим целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, иначе выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.
Ответ: 0.
Пример: Решить неравенство:
Решение: Пусть ½ х½ = y. Заметим далее, что ½ х½ + 1 > 0. Поэтому данное неравенство эквивалентно следующему: -2 ³ (y –2)(y + 1), или y2 – y £ 0, или 0 £ y£ 1, или 0 £ ½ х½ £ 1. Отсюда -1£ х £ 1.
Ответ: [-1; 1].
Пример: Решить неравенство
½ х2 – 3х + 2½ + ½ 2х + 1½ £ 5.
Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = -Ѕ. Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
х < -Ѕ. В этом случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1