Xreferat.com » Рефераты по математике » Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Введение


Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство Km состоит из действительных функций j (t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка m включительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство Km является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию


Анализ обобщенных функций


график которой приведен ниже


Анализ обобщенных функцийj

Анализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функций1


a (a+b)/2 b t


Эта функция принадлежит основному пространству Ko, так как не существуют производные в точках t = a и t = b. Функция (график смотри ниже)

Анализ обобщенных функций


принадлежит пространству Km.


Анализ обобщенных функцийj

Анализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функций1

Анализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функций

a (a+b)/2 b t


Если положить m = Ґ для основного пространства Km, то полученное основное пространство обозначается К. Пусть


Анализ обобщенных функций


тогда, как легко проверить, j(t) О K.


1.Обобщенные функции


Определение. Обобщенной функцией f (t) (заданной на прямой (-Ґ < t <Ґ)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения


(f (t), j (t)) , j (t) О K (Km).


Всякая интегрируемая функция f (t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение


Анализ обобщенных функций


есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций


Анализ обобщенных функций


Так как интеграл Пуассона


Анализ обобщенных функций то Анализ обобщенных функций (1)

При n®Ґ функция dn(t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t = 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел dn(t) при n®Ґ не существует. Предел


lim dn(t) = d(t)

n®Ґ


можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением


Анализ обобщенных функций (2)


где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (j О K). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции f на число l соотношением


(l f, j) = l (f, j) ( j О K).


Сумма двух обобщенных функций f1, f2 определим следующим образом


(f1 + f2, j) = (f1, j) + (f2, j) ( j О K).


После этого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f (t), g (t) О K' равны: f (t) = g (t), если для любой основной функции j (t)


(f, j) = (g, j) или (f – g, j) = 0.


Обобщенная функция f (t) равна нулю: f = 0, если для любой основной функции j (t)


(f, j) = 0.


Примеры обобщенных функций.

1. Пусть j О K. Определим обобщенную функцию f с помощью функционала


Анализ обобщенных функций


Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d (t) определим следующим образом


(d (t), j(t)) = j(0).


Исходя из интегрального представления (2), имеем


Анализ обобщенных функций

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( j О Ko).

Отметим, что функционал f , определенный на K соотношением

Анализ обобщенных функций

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

Анализ обобщенных функций


для которой можно записать


Анализ обобщенных функций


является регулярной обобщенной функцией.


2.Действия над обобщенными функциями


Введем в пространстве обобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность Анализ обобщенных функций сходится к f, если для любого j О K выполнено следующее соотношение


(fn, j) ® (f, j)

n ®Ґ


Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f '(t) регулярной обобщенной функции f (t) равна


Анализ обобщенных функций


так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n – го порядка будет тогда определяться равенством


(f(n) (t), j(t) = (-1)n (f (t), j(n) (t)) (" n О N, j О K).


Это соотношение определяет производную n – го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

Анализ обобщенных функций

2. Так как

Анализ обобщенных функций

то

Анализ обобщенных функций


Из определения дельта – функции следует

t d(t) = 0,

а значит


d(t) + t d'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd(n-1)(t) + t d(n)(t) = 0.


Отсюда последовательным исключением получаем


tn d(n) (t) = (-1) n! d(t) n О N.


Методом математической индукции можно показать, что


Анализ обобщенных функций


Легко также показать, что если a(t) О Cm, то


a(t) d(m) (t – to) = Com a (to) d(m) (t – to) - C1m a' (to) d(m-1) (t – to) –

. . . – (-1)Cmm a(m) (to) d (t – to) .


Введем обобщенные функции t + и t -:


Анализ обобщенных функций

тогда

Анализ обобщенных функций


Можно вычислить производные


(t+)' = q(t), (t-)' = -q(-t),


а также

n Анализ обобщенных функций


2.1 Свертка обобщенных функций


Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z = x-t.

Если f(t), g(t) – регулярные обобщенные функции и j(х) О K, то можно записать

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Произведение f(t) g(u) можно рассматривать как прямое произведение f(t) х g(u), так что

Анализ обобщенных функций

Это соотношение определяет свертку обощенных функций f(t), g(t) О K', включая и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций обладает следующими свойствами:


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функцийАнализ обобщенных функций

если Анализ обобщенных функций то

Анализ обобщенных функций (3)


Приведем доказательство последнего соотношения. Действительно, для j(х) О K


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

или

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций Анализ обобщенных функций

что и доказывает соотношение (3).

Примеры:

1. Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

3. Преобразование Фурье обобщенных функций


Пусть основное пространство K состоит из бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменного t, равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением


Анализ обобщенных функций


Если рассматривать s как комплексную переменную s = u + iv, то


Анализ обобщенных функций


и y(t) – бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем


Анализ обобщенных функций

В общем случае можно записать


Анализ обобщенных функций

Далее, если Анализ обобщенных функций - дифференциальный полином с постоянныим коэффициентами Анализ обобщенных функций то


Анализ обобщенных функций

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением

(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье


1) Анализ обобщенных функций

2) Анализ обобщенных функций

3) F-1[F[f(t)]] = f(t), где F-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению Анализ обобщенных функций

4) F[F[f(t)]] = 2pf(-t);

Анализ обобщенных функций


Приведем преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций.


F[1(t)] = 2pd(u),

Анализ обобщенных функций

F[d(t-a)] = e-iua,

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


4. Преобразование Лапласа обобщенных функций


Определение. Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t называется оригиналом, если

1) f(t) = 0 для t < 0;

f(t) – кусочно дифференцируема;

Анализ обобщенных функций

Тогда функция Анализ обобщенных функций называется преобразованием Лапласа функции f(t). Функция L(p) бесконечно дифференцируема в полуплоскости Re p > a и для нее справедливо соотношение


Анализ обобщенных функций

Если Анализ обобщенных функцийто

Анализ обобщенных функций


где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратное преобразование Лапласа L-1 равно


Анализ обобщенных функций


Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением

Анализ обобщенных функций

Свойства.


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметим, что


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


тогда


Анализ обобщенных функций


5) Найдем преобразование Лапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


Cледовательно


Анализ обобщенных функций


Так как Анализ обобщенных функций то


Анализ обобщенных функций


Аналогично можно написать


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Приведем преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:


Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций

где Io - функция Бесселя нулевого порядка.


5.Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях


Рассмотрим уравнение


Анализ обобщенных функций


Если f(t) – обычная функция, то его решением является первообразная, то есть


Анализ обобщенных функций


Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция g(t) называется первообразной обобщенной функцией f(t), если


(g'(t), j(t)) = (f (t), j(t)).


Если f(t) – сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция. Например, первообразная d(t) является y(t) = q(t); первообразная q(t) является функция y(t) = t+, а решение уравнения


y''(t) = d(t)


можно записать в виде


t(t) = t+ + C1t + C2 (C1, C2 = const).

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами


Анализ обобщенных функций (4)

где f(t) – обобщенная функция. Обозначим

Анализ обобщенных функций


дифференциальный полином n-го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняется соотношение


Анализ обобщенных функций


Если f(t) – непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (4.) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (4) называется любая обобщенная функция e(t) такая, что


Анализ обобщенных функций


Функция Грина – фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (4) существует и имеет вид


Анализ обобщенных функций (5)

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно,


Анализ обобщенных функций


По свойству свертки имеем


Анализ обобщенных функций


В качестве примера рассмотрим уравнение


Анализ обобщенных функций (6)


Нетрудно видеть, что фундаментальным решением этого уравнения является


Анализ обобщенных функций

так как

Анализ обобщенных функций

и

Анализ обобщенных функций

Поэтому

Анализ обобщенных функций


6. Пространство обобщенных функций Анализ обобщенных функций


Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством K, образует пространство K'. Рассмотрим подпространство обобщенных функций Анализ обобщенных функций пространства K, состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего [0, Ґ]. Введем в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если f(t), g(t) О Анализ обобщенных функций то и Анализ обобщенных функций Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в Анализ обобщенных функций играет функция d(t), так как для Анализ обобщенных функций

Анализ обобщенных функций


Пусть существует Анализ обобщенных функций такая что


Анализ обобщенных функций


тогда f-1(t) называется обратной обобщенной функцией f(t).

Пространство Анализ обобщенных функций с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Рассмотрим алгебру со сверткой Анализ обобщенных функций . Обобщенная функция Анализ обобщенных функций так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция Анализ обобщенных функцийсосредоточена вначале координат, поэтому Анализ обобщенных функций Далее,


Анализ обобщенных функций

поэтому

Анализ обобщенных функций


Теорема. Пусть для Анализ обобщенных функций существуют обратные функции f - 1(t) и g-1(t). Тогда свертка Анализ обобщенных функций имеет обратную функцию вида


Анализ обобщенных функций


Действительно,

Анализ обобщенных функций

Рассмотрим следующее определенное в Анализ обобщенных функций уравнение в свертках


Анализ обобщенных функций


Свертка существует для любой обобщенной функции Анализ обобщенных функций так как


Анализ обобщенных функций

Похожие рефераты: