Анализ обобщенных функций
Следовательно,
y(t) является
фундаментальным
решением уравнения
(4). В частности,
фундаментальное
решение уравнения
(6) с оператором
принадлежит
алгебре со
сверткой
Следовательно,
Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение
где a(t)
и b(t) О
Среди эффективных
методов решения
этого уравнения
приведем метод
преобразования
Лапласа. Применив
преобразование
Лапласа к левой
и правой части
этого уравнения,
имеем
Отсюда следует
Если для
функции L(p)
существует
оригинал,
принадлежащий
то он и является
искомым решением.
В качестве примера рассмотрим уравнение
Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р2-w2) L[y(t)] = 1.
Следовательно,
Откуда находим решение
7.Задача Коши
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
(7)
Задачей
Коши для этого
уравнения
называется
задача, заключающаяся
в определении
функции
удовлетворяющей
этому уравнению
и начальным
условиям в
точке t = to:
yo = y(to), y'o = y'(to), . . . , yo(n-1) = y(n-1)(to).
Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.
(8)
t®+0
Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции
и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t = 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок yo, тогда
где y'(t) – производная в обычном смысле.
Если у функции еще и скачок производной равный y'o, то
Производную
порядка p
(p Ј
n-1) обобщенной
функции
можно записать
в виде
Введем обозначение
Где
Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение
(9)
Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.
Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид
Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать
(10)
С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде
e(t) = q(t) yn(t) ,
где yn(t) - решение однородного уравнения
с начальными условиями
Тогда решение уравнения (10) принимает вид
Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид
где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.
Пример. Рассмотрим уравнение
y''(t) = 0, t і 0
с начальными условиями
lim y(t) = yo , lim y'(t) = y'o
t®+0 t®+0
В этом уравнении а1 = а2 = 0 и b1 = yo, b2 = y'o, а функция y2(t) = t является решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям
y2(0) = 0 , y'(0) = 1.
Поэтому
y(t) = yo + y'o t , t і 0.
Можно также написать
