Xreferat.com » Рефераты по математике » Краткое доказательство великой теоремы Ферма

Краткое доказательство великой теоремы Ферма

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права


КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (soluvel.okis/evrika.html):


Аn+ Вn = Сn* /1/


где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:


Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/


Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:


Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /3/


где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:


/4/


Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn =An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:


An + Bn < (A+B)n /5/


Следовательно:


- дробное число, меньшее единицы. /6/


- дробное число.


Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.


Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:


Сn =Аn + Вn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]


состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

  1. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:


An = Cn - Bn /7/


В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:


An = Cn - Bn = (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B + Cn-3∙ B2 +…+ C ∙ Bn-2 + Bn-1 ). /8/


Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Аn = Сn - Bn =(С+B)n∙ Dn , /9/


где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:


/10/


Из уравнения /9/ также следует, что число [Аn =Сn - Bn] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)n . Однако известно, что:


Сn - Bn < (С+B)n /11/


Следовательно:


- дробное число, меньшее единицы. /12/


- дробное число.


Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:


< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.


ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ


В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cn - Bn) раскладывается на алгебраические множители:


C2 – B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/


C4 – B4 = (C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2); /14/


C6 – B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2) ∙ (C2 +CB+ B2); /15/


C8 – B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2) ∙ (C4 + B4). /16/


Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.


C2 – B2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23;


C4 – B4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;


C6 – B6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;


C8 – B8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.


C2 – B2 = (32) ∙ (41) = 32 ∙ 41;


C4 – B4 = (32) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881;


C6 – B6 = (32) ∙ (41) ∙ (22 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;


C8 – B8 = (32) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.


Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аn = Сn - Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn - Bn) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты:

  • Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

    Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.

  • Простое доказательство великой теоремы Ферма

    Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.

  • Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

    Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.

  • Доказательство великой теоремы Ферма

    Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.

  • Краткое доказательство гипотезы Биля

    Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.

  • Доказательство великой теоремы Ферма

    Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.

  • Доказательство теоремы Ферма для n=4

    Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.

  • Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

    Доказательство гипотезы Гольдбаха-Эйлера. Гипотезы о том, что любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел.

  • Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

    Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.

  • Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

    Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.

  • Расчет математического ожидания и дисперсии

    Определение математической вероятности правильного набора, если на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры. Использование классического определения вероятности. Расчет математического ожидания и дисперсии для очков, выпавших на игральных костях.

  • Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

    Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.

  • Доказательство теоремы Ферма для n=3

    Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.

  • Новый метод решения кубического уравнения

    Решение кубического уравнения на основе современных методов: разложение левой части на линейные множители; с помощью формулы Кардана; специальных таблиц. Рассмотрение метода решения кубических уравнений, включая неприводимый случай формулы Кардана.

  • Элементы алгебры и геометрии

    Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.

  • Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

    Пьер де Ферма сделал почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта. Натуральные взаимно простые числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. Пример справедливости приведенного доказательства.

  • Общее доказательство гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора

    Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.

  • Доказательство великой теоремы Ферма

    Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.

  • Краткое доказательство гипотезы Билля

    Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.

  • Гипотеза Биля

    Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.