Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1° . |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2° . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3° . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4° . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5° . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6° . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7° . Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8° . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2 t (2)…a n-1,t (n-1) a nt (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t ) a1t (1) a 2 t (2)....a n-1,t (n-1) a n n =a n n (sgn(t ’) a 1t (1) a 2 t (2) ...a n-1,t (n-1)),где

t = 1 2 ... n-1 n t ’ = 1 2 ... n-1

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n) , t (1) t (2) ... t (n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n ) t (1) t (2) ... t (n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 ... a 1j .. a 1n

|A|= ................................. = a ij A ij

0 ... a ij ... 0

..................................

a n1 ... a nj ... a nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 ... a1j ... a1n a11 .. a1j ..a1n a11 .. a1n .. a1j

A = ....................... = n-i .................... =n-i n-j .................... =

0 .. aij ... 0