Xreferat.com » Рефераты по математике » Численные методы для решения нелинейных уравнений

Численные методы для решения нелинейных уравнений

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации


Саратовский государственный технический университет


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя


Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета


Саратов 2008

Введение


Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]

Численные методы для решения нелинейных уравнений


Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.


1. Определения и условные обозначения


Численные методы для решения нелинейных уравнений – конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из Численные методы для решения нелинейных уравнений упорядоченных действительных чисел, например:


Численные методы для решения нелинейных уравнений


где Численные методы для решения нелинейных уравнений – действительные числа, Численные методы для решения нелинейных уравнений.

В Численные методы для решения нелинейных уравнений введена операция сложения элементов, т. е. Численные методы для решения нелинейных уравнений определено отображение Численные методы для решения нелинейных уравнений,

где Численные методы для решения нелинейных уравнений

Оно обладает следующими свойствами:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений , что Численные методы для решения нелинейных уравнений (элемент Численные методы для решения нелинейных уравнений называется нулевым),

Численные методы для решения нелинейных уравнений, что Численные методы для решения нелинейных уравнений (элемент Численные методы для решения нелинейных уравнений называется противоположным элементу Численные методы для решения нелинейных уравнений).

В Численные методы для решения нелинейных уравнений введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. Численные методы для решения нелинейных уравнений определено отображение Численные методы для решения нелинейных уравнений,

где Численные методы для решения нелинейных уравнений

Оно обладает следующими свойствами:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений


Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений.


Каждой паре элементов Численные методы для решения нелинейных уравнений поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом Численные методы для решения нелинейных уравнений и называемое скалярным произведением, где


Численные методы для решения нелинейных уравнений


и выполнены следующие условия:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений, причем Численные методы для решения нелинейных уравнений – нулевой элемент.


Матрица Численные методы для решения нелинейных уравнений вида

Численные методы для решения нелинейных уравненийЧисленные методы для решения нелинейных уравнений , (1)


где Численные методы для решения нелинейных уравнений– действительные числа (Численные методы для решения нелинейных уравнений,Численные методы для решения нелинейных уравнений) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство Численные методы для решения нелинейных уравнений в себя, а именно, для Численные методы для решения нелинейных уравнений


Численные методы для решения нелинейных уравнений,


где Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве Численные методы для решения нелинейных уравнений, вводятся следующие операции:


сложение операторов Численные методы для решения нелинейных уравнений, при этом, если Численные методы для решения нелинейных уравнений, то Численные методы для решения нелинейных уравнений,

умножение операторов на числа: Численные методы для решения нелинейных уравнений при этом, если Численные методы для решения нелинейных уравнений, то Численные методы для решения нелинейных уравнений,

умножение операторов: Численные методы для решения нелинейных уравнений, при этом, если Численные методы для решения нелинейных уравнений, то Численные методы для решения нелинейных уравнений.


Обратным к оператору Численные методы для решения нелинейных уравнений называется оператор Численные методы для решения нелинейных уравнений такой, что Численные методы для решения нелинейных уравнений, где Численные методы для решения нелинейных уравнений – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,


Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Пусть число Численные методы для решения нелинейных уравнений и элемент Численные методы для решения нелинейных уравнений, таковы, что Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Тогда число Численные методы для решения нелинейных уравнений называется собственным числом линейного оператора Численные методы для решения нелинейных уравнений, а элемент Численные методы для решения нелинейных уравнений – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Линейный оператор Численные методы для решения нелинейных уравнений называется сопряженным к оператору Численные методы для решения нелинейных уравнений, если для любых элементов Численные методы для решения нелинейных уравнений выполняется равенство Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Для всякого оператора Численные методы для решения нелинейных уравнений сопряженный оператор Численные методы для решения нелинейных уравнений существует, единствен; если Численные методы для решения нелинейных уравнений, то Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Справедливы равенства:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений, если Численные методы для решения нелинейных уравнений существует.


Каждому элементу Численные методы для решения нелинейных уравнений ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом Численные методы для решения нелинейных уравнений и называемое нормой элемента Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Введем в рассмотрение три нормы для Численные методы для решения нелинейных уравнений:


Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений.


При этом выполняются следующие неравенства:


Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):


Численные методы для решения нелинейных уравнений, причем Численные методы для решения нелинейных уравнений, лишь если Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений.


Говорят, что последовательность элементов Численные методы для решения нелинейных уравнений сходится к элементу Численные методы для решения нелинейных уравнений,

а именно, Численные методы для решения нелинейных уравнений,

или Численные методы для решения нелинейных уравнений,

если Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве Численные методы для решения нелинейных уравнений называется сходимостью по норме.

Множество элементов Численные методы для решения нелинейных уравнений, удовлетворяющих неравенству Численные методы для решения нелинейных уравнений называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве Численные методы для решения нелинейных уравненийс центром в точке Численные методы для решения нелинейных уравнений и обозначается Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом Численные методы для решения нелинейных уравнений и называемое нормой линейного оператора Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:


Численные методы для решения нелинейных уравнений, причем Численные методы для решения нелинейных уравнений, лишь если Численные методы для решения нелинейных уравнений – нулевая матрица,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений.


Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего Численные методы для решения нелинейных уравнений в Численные методы для решения нелинейных уравнений:

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,

Численные методы для решения нелинейных уравнений,


где Численные методы для решения нелинейных уравнений i-ое собственное значение матрицы Численные методы для решения нелинейных уравнений.

Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) Численные методы для решения нелинейных уравнений в смысле условия Численные методы для решения нелинейных уравнений.

2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в Численные методы для решения нелинейных уравнений


Общая форма систем нелинейных уравнений в Численные методы для решения нелинейных уравнений имеет вид:


Численные методы для решения нелинейных уравнений (2)


или F(x) = 0,

где Численные методы для решения нелинейных уравнений – заданные функции n переменных, Численные методы для решения нелинейных уравнений – неизвестные.

Функция Численные методы для решения нелинейных уравнений при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.

Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел Численные методы для решения нелинейных уравнений, которые, будучи подставлены на место неизвестных Численные методы для решения нелинейных уравнений, обращают каждое уравнение системы в тождество.

Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:


Численные методы для решения нелинейных уравнений


или Численные методы для решения нелинейных уравнений,


где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий Численные методы для решения нелинейных уравнений в Численные методы для решения нелинейных уравнений

Численные методы для решения нелинейных уравнений


Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке Численные
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: