Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,
| qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er | (31) |
|
|
(32) |
|
|
(33) |
При наличии только объемного стороннего заряда ρ
|
|
(34) |
В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:
|
|
(35) |
Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ' = 0.
Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ', если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.
Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1<r<R2: если раньше она была Dr = ε0Er, то теперь Dr = ε0ε Er. Это повлечет за собой некоторые изменения в формулах.
Как и раньше,
| qinside = 4π r2 Dr(r) |
причем
| qinside | = | 0 при r<R1 | |
| 4πσ1R12 при R1<r<R2 | |||
| 4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2 |
Поле на каждом из участков будет
| Er | = | 0 при r<R1 | |
|
|
|||
|
|
При вычислении
потенциала
мы должны вычислить
.
При этом необходимо
правильно
выписывать
Er на каждoм участке:
| φ(r) | = |
|
|
| = |
|
||
| φ(r) | = |
|
|
| = |
|
||
| φ(r) | = |
|
|
| = |
|
В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.
Для нахождения σ ' на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
Нулевые значения
появились из-за
отсутствия
диэлектрика
в областях r<R1
и r>R2. Сразу же
находим
и
(на
других поверхностях
никакого связанного
заряда нет):
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Легко проверить,
что суммарный
связанный
заряд, то есть
,
равен нулю, как
и должно быть.
Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ' на краю шара.
Ответ:
.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.