Xreferat.com » Рефераты по математике » Основы математики
Основы математики
Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
1 C00
1 1 C10 C11
1 2 1 C20 C21 C22
1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44
1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1. Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно
сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис-
лам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-
дыдущей сроке.
4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой.
Сmn=Cmm-n
2. Бином Ньютона.
(a+b) - двучлен (бином)
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
и т.д. ;)
Свойства бинома Ньютона:
1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.
2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны
между собой.
3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
n
(a + b)n = S Cnk.an-k.bk
k=0
4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk
5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
Метод математической индукции.
Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
1) Оно верно при n=1;
2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно
при n=k+1.
Комбинаторика: Размещения и перестановки.
Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю-
щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое-
динениями.
3 рода соединений:
1) Размещения
2) Перестеновки
3) Сочетания
Дано: (a,b,c) - 3 элемента.
по одному: a, b, c.
по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд-
ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m
------------¬
¦ m! ¦
¦Amn= ------+
¦ (m-n)!¦
L------------
2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются
перестановками.
------¬
¦Pm=m!¦
L------
2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на-
зываются сочетениями.
--------------¬ Свойства числа сочетний:
¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1
L-------------- 4) C00=0!=1
Дифференцирование функций.
Производная функции
h=x-a - приращение аргумента
f(a+h) - f(a) - приращение функции
--------------------------------------¬
¦ f(a+h) - f(a) -
¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)-
¦ h->0 h -
+--------------------------------------
¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h-
L--------------------
df = f'(x).dx - дифференциал функции.
Примеры:
1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
x h->0 h h->0 h
1 1
= lim ------- = ---
x(x+h) h2
| 1
2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = ---
2?x
(ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
----------------¬
¦(axn)' = n.xn-1¦
L----------------
Техника дифференцирования.
(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то-
(f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ-
( f )' f'g + fg' ке.
¦ - ¦ = ---------
9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ-
водная отрицательна.
(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про-
n| 1 изводная положительна.
? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес-
n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные
экстремумы.
4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти:
а) Значение функции на краях промежутка;
б) Экстремумы функции на данном промежутке;
в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
Дифференцирование тригонометрических функций.
---------------¬ ----------¬
¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦
¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦
L--------------- L----------
(Sin x)' = Cos x
(Cos x)' = -Sin x
1 1
(tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = -----
Cos2x Sin2x
Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".
" Исследование квадратного трехчлена "
Теорема 1. ---
--------- ¦ а > 0,
¦ D . 0,
¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=>
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.),
обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus.
Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.