Xreferat.com » Рефераты по математике » Основы математики

Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона. 1 C00 1 1 C10 C11 1 2 1 C20 C21 C22 1 3 3 1 C30 C31 C32 C33 1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1. Свойства треугольника Паскаля: 1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке. 2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис- лам. 3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке. 4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сmn=Cmm-n 2. Бином Ньютона. (a+b) - двучлен (бином) (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2 и т.д. ;) Свойства бинома Ньютона: 1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых. 2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой. 3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически: n (a + b)n = S Cnk.an-k.bk k=0 4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk.an-k.bk 5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n. Метод математической индукции. Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если: 1) Оно верно при n=1; 2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1. Комбинаторика: Размещения и перестановки. Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями. 3 рода соединений: 1) Размещения 2) Перестеновки 3) Сочетания Дано: (a,b,c) - 3 элемента. по одному: a, b, c. по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca. по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n,m ------------¬ ¦ m! ¦ ¦Amn= ------+ ¦ (m-n)!¦ L------------ 2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками. ------¬ ¦Pm=m!¦ L------ 2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями. --------------¬ Свойства числа сочетний: ¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1 ¦ (m-n)!n!¦ 3) Cm0=1 L-------------- 4) C00=0!=1 Дифференцирование функций. Производная функции h=x-a - приращение аргумента f(a+h) - f(a) - приращение функции --------------------------------------¬ ¦ f(a+h) - f(a) - ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)- ¦ h->0 h - +-------------------------------------- ¦f(a+h)-f(a)=(k+a).h- L-------------------- df = f'(x).dx - дифференциал функции. Примеры: 1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h)) 1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- = x h->0 h h->0 h 1 1 = lim ------- = --- x(x+h) h2 | 1 2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = --- 2?x (ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2 ----------------¬ ¦(axn)' = n.xn-1¦ L---------------- Техника дифференцирования. (fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то- (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ- ( f )' f'g + fg' ке. ¦ - ¦ = --------- 9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ- водная отрицательна. (fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про- n| 1 изводная положительна. ? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес- n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные экстремумы. 4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка; б) Экстремумы функции на данном промежутке; в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. Дифференцирование тригонометрических функций. ---------------¬ ----------¬ ¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦ ¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦ ¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦ L--------------- L---------- (Sin x)' = Cos x (Cos x)' = -Sin x 1 1 (tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = ----- Cos2x Sin2x Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ". " Исследование квадратного трехчлена " Теорема 1. --- --------- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0, M < x1 , x2 <=> ¦ f(M) > 0, <=>

Похожие рефераты: