Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Задача №1.


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:


Вычисление случайных величин


Вычисление случайных величин


где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции Вычисление случайных величин. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия


Вычисление случайных величин или Вычисление случайных величин


следует, что Вычисление случайных величин

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):

Вычисление случайных величин


Вычислим плотность составляющей X:

при Вычисление случайных величин, Вычисление случайных величин

откуда плотность составляющей X –


Вычисление случайных величин


Вычислим плотность составляющей Y:

при Вычисление случайных величин, Вычисление случайных величин

при Вычисление случайных величин, Вычисление случайных величин

Поэтому плотность составляющей Y –


Вычисление случайных величин


Найдем условную плотность составляющей X:

при Вычисление случайных величин, Вычисление случайных величин случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:


Вычисление случайных величин


Найдем дисперсию случайной величины X:


Вычисление случайных величин


Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:


Вычисление случайных величин


Найдем математическое ожидание случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


Найдем дисперсию случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):


Вычисление случайных величин


Тогда ковариация: Вычисление случайных величин,

а значит и коэффициент корреляции Вычисление случайных величин

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.


Задача №2


Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:


Y X

3 6 8 9
-0,2 0,035 0,029 0,048 0,049
0,1 0,083 0,107 0,093 0,106
0,3 0,095 0,118 0,129 0,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X 3 6 8 9

Вычисление случайных величин

0,213 0,254 0,270 0,263

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величинВычисление случайных величин

Проверка: Вычисление случайных величин+ Вычисление случайных величин+ Вычисление случайных величин+ Вычисление случайных величин= 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:


Y -0,2 0,1 0,3

Вычисление случайных величин

0,161 0,389 0,450

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Проверка: Вычисление случайных величин+ Вычисление случайных величин+ Вычисление случайных величин= 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:


Вычисление случайных величин2.


Математическое ожидание случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


3. Дисперсия случайной величины X:


Вычисление случайных величин


4. Дисперсия случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:


Вычисление случайных величин


6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:


Вычисление случайных величин


Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X)

Вычисление случайных величин

0,213 0,254 0,270 0,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y)

Вычисление случайных величин

0,161 0,389 0,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873
P 0,035 0,083

-0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627
0,095 0,029 0,107 0,118 0,048

-0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673
0,093 0,129 0,049 0,106 0,108

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Найдем ковариацию:

Вычисление случайных величин


Найдем коэффициент корреляции:


Вычисление случайных величин


Ответ: -0,028.


Задача №3


Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)

22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5
117,5-122,5 1 3 - - -
122,5-127,5 - 2 6 1 -
127,5-132,5 - 1 5 5 -
132,5-137,5 - 1 6 7 2
137,5-142,5 - - 1 4 2
142,5-147,5 - - - 1 1
147,5-152,5 - - - - 1

Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

вычертить их графики и определить угол между ними;

по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя –


Вычисление случайных величин


2. Дисперсия выборочная исправленная –


Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Для веса Y получим:

Выборочная средняя -


Вычисление случайных величин


Дисперсия выборочная исправленная –


Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Найдем выборочный коэффициент корреляции:


Вычисление случайных величин


Найдем значения коэффициентов регрессии:


Вычисление случайных величинВычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:


Вычисление случайных величин


Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:


Вычисление случайных величин


Вычисление случайных величин - угол между прямыми регрессии.


Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин

Вычисление случайных величин


Следовательно, связь между X и Y не тесная.


Вычисление случайных величин

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: